Номер 1.320, страница 97 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.320. Вычислите: $\ctg(2\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}})) + \sin(3\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}))$.

Для решения данного выражения, вычислим значение каждого слагаемого по отдельности, а затем сложим полученные результаты.

1) Вычислим значение выражения $ctg(2\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}))$

Сначала найдем значение арксинуса. Используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.

$\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}})$

Так как известно, что $\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}$, а область значений функции арксинус — это промежуток $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, то:

$\arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$

Следовательно:

$\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{\pi}{4}$

Теперь подставим это значение в первое слагаемое:

$ctg(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = ctg(-\frac{2\pi}{4}) = ctg(-\frac{\pi}{2})$

Используя определение котангенса $ctg(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$, находим значение:

$ctg(-\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(-\frac{\pi}{2})}{\sin(-\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{-1} = 0$.

Ответ: 0.

2) Вычислим значение выражения $\sin(3\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}))$

Сначала найдем значение арккосинуса. Используем свойство функции арккосинус: $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.

$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2})$

Так как известно, что $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, а область значений функции арккосинус — это промежуток $[0; \pi]$, то:

$\arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{6}$

Следовательно:

$\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

Теперь подставим это значение во второе слагаемое:

$\sin(3 \cdot \frac{5\pi}{6}) = \sin(\frac{15\pi}{6}) = \sin(\frac{5\pi}{2})$

Учитывая, что функция синуса имеет период $2\pi$, можем упростить аргумент:

$\sin(\frac{5\pi}{2}) = \sin(\frac{4\pi + \pi}{2}) = \sin(2\pi + \frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) = 1$.

Ответ: 1.

3) Найдем сумму полученных значений

Теперь сложим полученные результаты:

$ctg(2\arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}})) + \sin(3\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})) = 0 + 1 = 1$.

Ответ: 1.