Номер 1.313, страница 97 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.313. Найдите значение выражения:

а) $arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{2\pi}{3}$;

б) $arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{\pi}{4}$;

в) $arctg(-1) - \frac{3\pi}{4}$;

г) $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + 2\pi$.

а) Для того чтобы найти значение выражения $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{2\pi}{3}$, сначала вычислим значение арксинуса.
По определению, $\arcsin(x)$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $x$.
Используем свойство нечетности функции арксинус: $\arcsin(-a) = -\arcsin(a)$.
$\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2})$.
Так как $\sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\arcsin(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{\pi}{3}$.
Значит, $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$-\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3} = \frac{-\pi + 2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$.

б) Для того чтобы найти значение выражения $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) + \frac{\pi}{4}$, сначала вычислим значение арккосинуса.
По определению, $\arccos(x)$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $x$.
Используем свойство функции арккосинус: $\arccos(-a) = \pi - \arccos(a)$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Так как $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\pi}{4}$.
Значит, $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{3\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi + \pi}{4} = \frac{4\pi}{4} = \pi$.
Ответ: $\pi$.

в) Для того чтобы найти значение выражения $\operatorname{arctg}(-1) - \frac{3\pi}{4}$, сначала вычислим значение арктангенса.
По определению, $\operatorname{arctg}(x)$ — это угол из промежутка $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $x$.
Используем свойство нечетности функции арктангенс: $\operatorname{arctg}(-a) = -\operatorname{arctg}(a)$.
$\operatorname{arctg}(-1) = -\operatorname{arctg}(1)$.
Так как $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$, то $\operatorname{arctg}(1) = \frac{\pi}{4}$.
Значит, $\operatorname{arctg}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$-\frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = \frac{-\pi - 3\pi}{4} = \frac{-4\pi}{4} = -\pi$.
Ответ: $-\pi$.

г) Для того чтобы найти значение выражения $\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + 2\pi$, сначала вычислим значение арккотангенса.
По определению, $\operatorname{arcctg}(x)$ — это угол из промежутка $(0; \pi)$, котангенс которого равен $x$.
Используем свойство функции арккотангенс: $\operatorname{arcctg}(-a) = \pi - \operatorname{arcctg}(a)$.
$\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \operatorname{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Так как $\operatorname{ctg}(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$, то $\operatorname{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \frac{\pi}{3}$.
Значит, $\operatorname{arcctg}(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение:
$\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{2\pi + 6\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$.
Так как $\frac{8\pi}{3}$ является неправильной дробью, выделим из нее целую часть: $\frac{8\pi}{3} = \frac{6\pi + 2\pi}{3} = 2\pi + \frac{2\pi}{3}$.
Ответ: $\mathbf{2}\frac{2\pi}{3}$.