Номер 1.317, страница 97 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.317. Определите последовательность действий для вычисления значения выражения и вычислите:

а) $arctg(ctg(\frac{\pi}{3}))$;

б) $arctg(sin(\frac{3\pi}{2}))$;

в) $arccos(sin(-\frac{\pi}{3}))$;

г) $arcsin(2cos(\frac{\pi}{2}))$;

д) $arccos(3sin\pi)$;

е) $arcctg(\sqrt{3}cos4\pi)$.

а) Для вычисления значения выражения $ \text{arcctg}(\text{ctg}\frac{\pi}{3}) $ необходимо выполнить следующие действия:

1. Вычислить значение внутреннего выражения, то есть найти котангенс угла $ \frac{\pi}{3} $.
2. Найти арккотангенс полученного значения.

Выполним вычисления:

1. Находим значение котангенса: $ \text{ctg}\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3} $.

2. Подставляем результат в исходное выражение: $ \text{arcctg}(\frac{\sqrt{3}}{3}) $.

3. По определению, арккотангенс числа $a$ — это такой угол $ \alpha $ из интервала $ (0, \pi) $, что его котангенс равен $a$. Угол, котангенс которого равен $ \frac{\sqrt{3}}{3} $, — это $ \frac{\pi}{3} $. Так как $ \frac{\pi}{3} \in (0, \pi) $, это и есть наш ответ.

Также можно воспользоваться тождеством $ \text{arcctg}(\text{ctg}(x)) = x $ при условии, что $ x \in (0, \pi) $. В нашем случае $ x = \frac{\pi}{3} $, что удовлетворяет условию, следовательно, $ \text{arcctg}(\text{ctg}\frac{\pi}{3}) = \frac{\pi}{3} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{3} $.

б) Для вычисления значения выражения $ \text{arcctg}(\sin\frac{3\pi}{2}) $ необходимо выполнить следующие действия:

1. Вычислить значение синуса угла $ \frac{3\pi}{2} $.
2. Найти арккотангенс полученного значения.

Выполним вычисления:

1. Находим значение синуса: $ \sin\frac{3\pi}{2} = -1 $.

2. Подставляем результат в исходное выражение: $ \text{arcctg}(-1) $.

3. Ищем угол $ \alpha $ в интервале $ (0, \pi) $, для которого $ \text{ctg}(\alpha) = -1 $. Известно, что $ \text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = 1 $. Для нахождения арккотангенса отрицательного числа используем формулу $ \text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x) $.
$ \text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4} $.

Ответ: $ \frac{3\pi}{4} $.

в) Для вычисления значения выражения $ \text{arccos}(\sin(-\frac{\pi}{3})) $ необходимо выполнить следующие действия:

1. Вычислить значение синуса угла $ -\frac{\pi}{3} $.
2. Найти арккосинус полученного значения.

Выполним вычисления:

1. Синус является нечетной функцией, поэтому $ \sin(-x) = -\sin(x) $.
$ \sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $.

2. Подставляем результат в исходное выражение: $ \text{arccos}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) $.

3. Ищем угол $ \alpha $ в отрезке $ [0, \pi] $, для которого $ \cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2} $. Известно, что $ \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $. Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем формулу $ \text{arccos}(-x) = \pi - \text{arccos}(x) $.
$ \text{arccos}(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \text{arccos}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi - \pi}{6} = \frac{5\pi}{6} $.

Ответ: $ \frac{5\pi}{6} $.

г) Для вычисления значения выражения $ \text{arcsin}(2\cos\frac{\pi}{2}) $ необходимо выполнить следующие действия:

1. Вычислить значение косинуса угла $ \frac{\pi}{2} $.
2. Умножить полученное значение на 2.
3. Найти арксинус результата.

Выполним вычисления:

1. Находим значение косинуса: $ \cos\frac{\pi}{2} = 0 $.

2. Вычисляем выражение в скобках: $ 2 \cdot 0 = 0 $.

3. Подставляем результат: $ \text{arcsin}(0) $.

4. Ищем угол $ \alpha $ в отрезке $ [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $, для которого $ \sin(\alpha) = 0 $. Этим углом является $ \alpha = 0 $.

Ответ: 0.

д) Для вычисления значения выражения $ \text{arccos}(3\sin\pi) $ необходимо выполнить следующие действия:

1. Вычислить значение синуса угла $ \pi $.
2. Умножить полученное значение на 3.
3. Найти арккосинус результата.

Выполним вычисления:

1. Находим значение синуса: $ \sin\pi = 0 $.

2. Вычисляем выражение в скобках: $ 3 \cdot 0 = 0 $.

3. Подставляем результат: $ \text{arccos}(0) $.

4. Ищем угол $ \alpha $ в отрезке $ [0, \pi] $, для которого $ \cos(\alpha) = 0 $. Этим углом является $ \alpha = \frac{\pi}{2} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{2} $.

е) Для вычисления значения выражения $ \text{arcctg}(\sqrt{3}\cos4\pi) $ необходимо выполнить следующие действия:

1. Вычислить значение косинуса угла $ 4\pi $.
2. Умножить полученное значение на $ \sqrt{3} $.
3. Найти арккотангенс результата.

Выполним вычисления:

1. Косинус — периодическая функция с периодом $ 2\pi $, поэтому $ \cos(4\pi) = \cos(0) = 1 $.

2. Вычисляем выражение в скобках: $ \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3} $.

3. Подставляем результат: $ \text{arcctg}(\sqrt{3}) $.

4. Ищем угол $ \alpha $ в интервале $ (0, \pi) $, для которого $ \text{ctg}(\alpha) = \sqrt{3} $. Этим углом является $ \alpha = \frac{\pi}{6} $.

Ответ: $ \frac{\pi}{6} $.