Номер 1.319, страница 97 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.319. Используйте определения arcsin $a$, arccos $a$, arctg $a$ и найдите значение выражения $2\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + \arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) - 3\text{arctg}(-\sqrt{3}) + \arccos0$.

Для нахождения значения выражения $2\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - 3\arctan(-\sqrt{3}) + \arccos0$ необходимо последовательно вычислить значение каждого его члена.

1. $2\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2}$
По определению, арксинус числа $a$ ($\arcsin a$) — это угол $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.
Для $a = \frac{\sqrt{2}}{2}$, угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, есть $\frac{\pi}{4}$. Этот угол принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Следовательно, $\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$.
Умножаем на 2: $2 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

2. $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$
По определению, арккосинус числа $a$ ($\arccos a$) — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.
Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем тождество $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.
$\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, есть $\frac{\pi}{4}$.
Значит, $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

3. $-3\arctan(-\sqrt{3})$
По определению, арктангенс числа $a$ ($\arctan a$) — это угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.
Арктангенс — нечетная функция, поэтому $\arctan(-a) = -\arctan a$.
$\arctan(-\sqrt{3}) = -\arctan(\sqrt{3})$.
Угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, есть $\frac{\pi}{3}$.
Значит, $\arctan(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$.
Умножаем на -3: $-3 \cdot (-\frac{\pi}{3}) = \pi$.
Ответ: $\pi$.

4. $\arccos0$
По определению, $\arccos0$ — это угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $0$.
Этот угол равен $\frac{\pi}{2}$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

5. Итоговое значение выражения
Сложим все полученные значения:
$2\arcsin\frac{\sqrt{2}}{2} + \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) - 3\arctan(-\sqrt{3}) + \arccos0 = \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{4} + \pi + \frac{\pi}{2}$.
Сгруппируем и приведем к общему знаменателю:
$(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2}) + \pi + \frac{3\pi}{4} = \pi + \pi + \frac{3\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4} = \frac{8\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = \frac{11\pi}{4}$.
Представим результат в виде смешанной дроби, выделив целую часть:
$\frac{11\pi}{4} = \frac{8\pi + 3\pi}{4} = 2\pi + \frac{3\pi}{4} = 2\frac{3}{4}\pi$.
Ответ: 2$\frac{3}{4}\pi$.