Номер 1.326, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.326. Найдите область определения выражения:

a) $\arccos(8x + 1)$;

б) $\arcsin\left(7 - \frac{x}{2}\right)$.

а)Область определения функции арккосинус $y = \arccos(t)$ - это отрезок $[-1, 1]$. Это значит, что аргумент функции, выражение $(8x + 1)$, должен удовлетворять двойному неравенству:

$-1 \le 8x + 1 \le 1$

Решим это неравенство. Сначала вычтем 1 из всех частей неравенства:

$-1 - 1 \le 8x + 1 - 1 \le 1 - 1$

$-2 \le 8x \le 0$

Теперь разделим все части неравенства на 8:

$\frac{-2}{8} \le \frac{8x}{8} \le \frac{0}{8}$

$-\frac{1}{4} \le x \le 0$

Таким образом, область определения выражения - это отрезок $[-\frac{1}{4}, 0]$.

Ответ: $[-\frac{1}{4}; 0]$.

б)Область определения функции арксинус $y = \arcsin(t)$ - это отрезок $[-1, 1]$. Следовательно, аргумент функции, выражение $(7 - \frac{x}{2})$, должен удовлетворять двойному неравенству:

$-1 \le 7 - \frac{x}{2} \le 1$

Решим это неравенство. Сначала вычтем 7 из всех частей неравенства:

$-1 - 7 \le 7 - \frac{x}{2} - 7 \le 1 - 7$

$-8 \le -\frac{x}{2} \le -6$

Теперь умножим все части неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-8) \cdot (-2) \ge (-\frac{x}{2}) \cdot (-2) \ge (-6) \cdot (-2)$

$16 \ge x \ge 12$

Запишем неравенство в привычном виде, от меньшего к большему:

$12 \le x \le 16$

Таким образом, область определения выражения - это отрезок $[12, 16]$.

Ответ: $[12; 16]$.