Номер 1.321, страница 97 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.321. Найдите значение выражения:

a) $ \arcsin 0 + \arccos 0 + \operatorname{arctg} 0 + \operatorname{arcctg} 0 - \pi $;

б) $ \arcsin (-1) + 2\arccos (-1) + 4\operatorname{arctg} (-1) + 2\operatorname{arcctg} (-1) + 13\pi $.

Для решения этого выражения необходимо найти значения каждой из обратных тригонометрических функций по их определению.

• $ \arcsin0 $ — это угол из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен 0. Следовательно, $ \arcsin0 = 0 $.
• $ \arccos0 $ — это угол из промежутка $ [0; \pi] $, косинус которого равен 0. Следовательно, $ \arccos0 = \frac{\pi}{2} $.
• $ \arctg0 $ — это угол из промежутка $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен 0. Следовательно, $ \arctg0 = 0 $.
• $ \arcctg0 $ — это угол из промежутка $ (0; \pi) $, котангенс которого равен 0. Следовательно, $ \arcctg0 = \frac{\pi}{2} $.

Теперь подставим найденные значения в исходное выражение:

$ \arcsin0 + \arccos0 + \arctg0 + \arcctg0 - \pi = 0 + \frac{\pi}{2} + 0 + \frac{\pi}{2} - \pi $

Выполним вычисления:

$ \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \pi = \frac{2\pi}{2} - \pi = \pi - \pi = 0 $

Альтернативный способ:
Можно использовать основные тождества для аркфункций: $ \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2} $ и $ \arctg x + \arcctg x = \frac{\pi}{2} $. Подставив их в выражение, получим:$ (\arcsin0 + \arccos0) + (\arctg0 + \arcctg0) - \pi = \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} - \pi = \pi - \pi = 0 $

Ответ: 0

Аналогично, найдем значения каждой из обратных тригонометрических функций:

• $ \arcsin(-1) $ — это угол из промежутка $ [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}] $, синус которого равен -1. Следовательно, $ \arcsin(-1) = -\frac{\pi}{2} $.
• $ \arccos(-1) $ — это угол из промежутка $ [0; \pi] $, косинус которого равен -1. Следовательно, $ \arccos(-1) = \pi $.
• $ \arctg(-1) $ — это угол из промежутка $ (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}) $, тангенс которого равен -1. Следовательно, $ \arctg(-1) = -\frac{\pi}{4} $.
• $ \arcctg(-1) $ — это угол из промежутка $ (0; \pi) $, котангенс которого равен -1. Следовательно, $ \arcctg(-1) = \frac{3\pi}{4} $.

Подставим найденные значения в исходное выражение, учитывая коэффициенты:

$ (-\frac{\pi}{2}) + 2(\pi) + 4(-\frac{\pi}{4}) + 2(\frac{3\pi}{4}) + 13\pi $

Упростим полученное выражение:

$ -\frac{\pi}{2} + 2\pi - \frac{4\pi}{4} + \frac{6\pi}{4} + 13\pi = -\frac{\pi}{2} + 2\pi - \pi + \frac{3\pi}{2} + 13\pi $

Сгруппируем и сложим слагаемые:

$ (-\frac{\pi}{2} + \frac{3\pi}{2}) + (2\pi - \pi + 13\pi) = \frac{2\pi}{2} + 14\pi = \pi + 14\pi = 15\pi $

Ответ: 15π