Номер 1.315, страница 97 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.315. Оцените значение выражения:

а) $\operatorname{arctg} b + \frac{\pi}{8}$;

б) $2\arccos b - \frac{4\pi}{15}$.

Для оценки значений выражений воспользуемся свойствами области значений обратных тригонометрических функций.

а) Область значений функции арктангенс $y = \arctg b$ представляет собой интервал $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Это можно записать в виде двойного неравенства: $$-\frac{\pi}{2} < \arctg b < \frac{\pi}{2}$$ Чтобы оценить значение выражения $\arctg b + \frac{\pi}{8}$, прибавим ко всем частям неравенства слагаемое $\frac{\pi}{8}$: $$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8} < \arctg b + \frac{\pi}{8} < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{8}$$ Приведем дроби к общему знаменателю и выполним вычисления: $$-\frac{4\pi}{8} + \frac{\pi}{8} < \arctg b + \frac{\pi}{8} < \frac{4\pi}{8} + \frac{\pi}{8}$$ $$-\frac{3\pi}{8} < \arctg b + \frac{\pi}{8} < \frac{5\pi}{8}$$ Таким образом, значение выражения принадлежит интервалу $(-\frac{3\pi}{8}; \frac{5\pi}{8})$.
Ответ: Значение выражения принадлежит интервалу $(-\frac{3\pi}{8}; \frac{5\pi}{8})$.

б) Область значений функции арккосинус $y = \arccos b$ представляет собой отрезок $[0; \pi]$.
Запишем это в виде двойного неравенства: $$0 \le \arccos b \le \pi$$ Умножим все части неравенства на 2: $$2 \cdot 0 \le 2\arccos b \le 2 \cdot \pi$$ $$0 \le 2\arccos b \le 2\pi$$ Теперь вычтем из всех частей неравенства $\frac{4\pi}{15}$: $$0 - \frac{4\pi}{15} \le 2\arccos b - \frac{4\pi}{15} \le 2\pi - \frac{4\pi}{15}$$ Выполним вычисления в левой и правой частях: $$-\frac{4\pi}{15} \le 2\arccos b - \frac{4\pi}{15} \le \frac{30\pi}{15} - \frac{4\pi}{15}$$ $$-\frac{4\pi}{15} \le 2\arccos b - \frac{4\pi}{15} \le \frac{26\pi}{15}$$ Дробь в правой части $\frac{26\pi}{15}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть: $$\frac{26\pi}{15} = 1\frac{11}{15}\pi$$ Следовательно, значение выражения принадлежит отрезку $[-\frac{4\pi}{15}; 1\frac{11}{15}\pi]$.
Ответ: Значение выражения принадлежит отрезку $[-\frac{4\pi}{15}; \mathbf{1}\frac{11}{15}\pi]$.