Номер 1.311, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.311. Верно ли, что:

а) $arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$;

б) $arcsin1 = \frac{\pi}{2}$;

в) $arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$;

г) $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$?

а) Чтобы проверить верность равенства $arccos\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi}{4}$, необходимо убедиться в выполнении двух условий, следующих из определения арккосинуса:
1. Значение угла, то есть $\frac{\pi}{4}$, должно находиться в диапазоне значений функции арккосинус, а именно в отрезке $[0; \pi]$.
2. Косинус этого угла должен равняться $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Проверим эти условия:
1. Угол $\frac{\pi}{4}$ (что соответствует 45°) действительно лежит в пределах отрезка $[0; \pi]$ (от 0° до 180°).
2. Значение $cos(\frac{\pi}{4})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Оба условия соблюдены, следовательно, равенство является верным.
Ответ: Верно.

б) Чтобы проверить верность равенства $arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$, необходимо убедиться в выполнении двух условий, следующих из определения арксинуса:
1. Значение угла, то есть $\frac{\pi}{2}$, должно находиться в диапазоне значений функции арксинус, а именно в отрезке $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
2. Синус этого угла должен равняться 1.

Проверим эти условия:
1. Угол $\frac{\pi}{2}$ (что соответствует 90°) действительно лежит в пределах отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$ (от -90° до 90°).
2. Значение $sin(\frac{\pi}{2})$ является табличным и равно 1.

Оба условия соблюдены, следовательно, равенство является верным.
Ответ: Верно.

в) Чтобы проверить верность равенства $arctg(-\sqrt{3}) = -\frac{\pi}{3}$, необходимо убедиться в выполнении двух условий, следующих из определения арктангенса:
1. Значение угла, то есть $-\frac{\pi}{3}$, должно находиться в диапазоне значений функции арктангенс, а именно в интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
2. Тангенс этого угла должен равняться $-\sqrt{3}$.

Проверим эти условия:
1. Угол $-\frac{\pi}{3}$ (что соответствует -60°) действительно лежит в пределах интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$ (от -90° до 90°).
2. Используя свойство нечетности тангенса, $tg(-\frac{\pi}{3}) = -tg(\frac{\pi}{3})$. Табличное значение $tg(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$, значит $tg(-\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.

Оба условия соблюдены, следовательно, равенство является верным.
Ответ: Верно.

г) Чтобы проверить верность равенства $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$, в первую очередь необходимо проверить, соответствует ли предложенное значение области значений функции арккотангенс.
По определению, область значений функции $y = arcctg(x)$ — это интервал $(0; \pi)$.

Проверим это условие:
Значение $-\frac{\pi}{3}$ является отрицательным числом. Отрицательные числа не входят в интервал $(0; \pi)$ (от 0° до 180°).

Поскольку значение $-\frac{\pi}{3}$ не принадлежит области значений арккотангенса, данное равенство неверно.
Ответ: Неверно.