Номер 1.316, страница 97 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.316. Найдите область определения выражения:

a) $arcsin(2x - 3)$;

б) $arccos(5 - 3x)$.

а) Область определения функции арксинус, $y = \arcsin(t)$, задается условием $|t| \le 1$, что эквивалентно двойному неравенству $-1 \le t \le 1$.
В данном случае аргументом функции является выражение $2x - 3$. Следовательно, для нахождения области определения необходимо решить неравенство:
$-1 \le 2x - 3 \le 1$
Прибавим 3 ко всем частям неравенства, чтобы выделить $2x$:
$-1 + 3 \le 2x - 3 + 3 \le 1 + 3$
$2 \le 2x \le 4$
Разделим все части неравенства на 2:
$\frac{2}{2} \le \frac{2x}{2} \le \frac{4}{2}$
$1 \le x \le 2$
Таким образом, область определения выражения — это числовой отрезок $[1; 2]$.
Ответ: $[1; 2]$.

б) Область определения функции арккосинус, $y = \arccos(t)$, также задается условием $|t| \le 1$, то есть $-1 \le t \le 1$.
Аргументом функции является выражение $5 - 3x$. Составим и решим соответствующее двойное неравенство:
$-1 \le 5 - 3x \le 1$
Вычтем 5 из всех частей неравенства:
$-1 - 5 \le 5 - 3x - 5 \le 1 - 5$
$-6 \le -3x \le -4$
Разделим все части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$\frac{-6}{-3} \ge \frac{-3x}{-3} \ge \frac{-4}{-3}$
$2 \ge x \ge \frac{4}{3}$
Запишем неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:
$\frac{4}{3} \le x \le 2$
Преобразуем неправильную дробь $\frac{4}{3}$ в смешанное число: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$.
Таким образом, область определения выражения — это числовой отрезок $[1\frac{1}{3}; 2]$.
Ответ: $[1\frac{1}{3}; 2]$.