Номер 1.322, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

Для решения данных задач воспользуемся определениями обратных тригонометрических функций.

• Арксинус числа $a$ ($\arcsin a$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.
• Арккосинус числа $a$ ($\arccos a$) — это угол $\alpha$ из промежутка $[0, \pi]$, косинус которого равен $a$.
• Арктангенс числа $a$ ($\arctan a$) — это угол $\alpha$ из промежутка $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.
• Арккотангенс числа $a$ ($\text{arccotg } a$) — это угол $\alpha$ из промежутка $(0, \pi)$, котангенс которого равен $a$.

Также будем использовать свойства чётности/нечётности для обратных тригонометрических функций:

• $\arcsin(-a) = -\arcsin a$
• $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$
• $\arctan(-a) = -\arctan a$
• $\text{arccotg}(-a) = \pi - \text{arccotg } a$

а) $\arcsin\frac{1}{2}$

Нужно найти угол $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin\alpha = \frac{1}{2}$. Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$. Угол $\frac{\pi}{6}$ принадлежит указанному промежутку.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$.

б) $\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$

Используем формулу $\arccos(-a) = \pi - \arccos a$.

$\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \pi - \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Арккосинус $\frac{\sqrt{2}}{2}$ — это угол $\alpha \in [0, \pi]$, для которого $\cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.

Следовательно, $\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.

Ответ: $\frac{3\pi}{4}$.

в) $\arctan(-\sqrt{3})$

Используем формулу $\arctan(-a) = -\arctan a$.

$\arctan(-\sqrt{3}) = -\arctan(\sqrt{3})$.

Арктангенс $\sqrt{3}$ — это угол $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, для которого $\tan\alpha = \sqrt{3}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

Следовательно, искомое значение равно $-\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

г) $\text{arccotg } 1$

Нужно найти угол $\alpha \in (0, \pi)$, для которого $\cot\alpha = 1$. Известно, что $\cot\frac{\pi}{4} = 1$. Угол $\frac{\pi}{4}$ принадлежит указанному промежутку.

Ответ: $\frac{\pi}{4}$.

д) $\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

Используем формулу $\arcsin(-a) = -\arcsin a$.

$\arcsin\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -\arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.

Арксинус $\frac{\sqrt{3}}{2}$ — это угол $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

Следовательно, искомое значение равно $-\frac{\pi}{3}$.

Ответ: $-\frac{\pi}{3}$.

е) $\text{arccotg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$

Используем формулу $\text{arccotg}(-a) = \pi - \text{arccotg } a$.

$\text{arccotg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) = \pi - \text{arccotg}\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Арккотангенс $\frac{\sqrt{3}}{3}$ — это угол $\alpha \in (0, \pi)$, для которого $\cot\alpha = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{3}$.

Следовательно, $\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi - \pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.

Ответ: $\frac{2\pi}{3}$.

ж) $\arcsin 1$

Нужно найти угол $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin\alpha = 1$. Этому условию удовлетворяет угол $\frac{\pi}{2}$.

Ответ: $\frac{\pi}{2}$.

з) $\arccos(-1)$

Нужно найти угол $\alpha \in [0, \pi]$, для которого $\cos\alpha = -1$. Этому условию удовлетворяет угол $\pi$.

Ответ: $\pi$.

и) $\arctan 0$

Нужно найти угол $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, для которого $\tan\alpha = 0$. Этому условию удовлетворяет угол $0$.

Ответ: $0$.