Номер 1.323, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.323. Используйте определения arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a и вычислите:

a) $arccos\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \frac{3\pi}{4}$,

б) $arcctg\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right) + 2\pi$.

Для решения этих примеров воспользуемся определениями обратных тригонометрических функций (аркфункций) и их свойствами.

а) $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{3\pi}{4}$

1. Найдем значение $arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$.
По определению, $arccos(a)$ — это угол $\alpha$ из промежутка $[0; \pi]$, для которого $cos(\alpha) = a$.
Нам нужно найти такой угол $\alpha$, что $cos(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ и $0 \le \alpha \le \pi$.
Мы знаем, что $cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Для нахождения арккосинуса отрицательного числа используем свойство $arccos(-a) = \pi - arccos(a)$:
$arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6}$.
Вычислим разность:
$\pi - \frac{\pi}{6} = \frac{6\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
Это значение находится в требуемом промежутке $[0; \pi]$.

2. Подставим найденное значение в исходное выражение.
Выражение принимает вид: $\frac{5\pi}{6} - \frac{3\pi}{4}$.

3. Вычислим разность дробей.
Приведем дроби к общему знаменателю, который равен 12:
$\frac{5\pi}{6} - \frac{3\pi}{4} = \frac{5\pi \cdot 2}{12} - \frac{3\pi \cdot 3}{12} = \frac{10\pi - 9\pi}{12} = \frac{\pi}{12}$.
В полученном ответе дробный коэффициент при $\pi$ является правильной дробью, поэтому выделять целую часть не нужно.

Ответ: а) $\frac{\pi}{12}$

б) $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + 2\pi$

1. Найдем значение $arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$.
По определению, $arcctg(a)$ — это угол $\alpha$ из промежутка $(0; \pi)$, для которого $ctg(\alpha) = a$.
Нам нужно найти такой угол $\alpha$, что $ctg(\alpha) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$ и $0 < \alpha < \pi$.
Мы знаем, что $ctg(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$. Для нахождения арккотангенса отрицательного числа используем свойство $arcctg(-a) = \pi - arcctg(a)$:
$arcctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - arcctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = \pi - \frac{\pi}{3}$.
Вычислим разность:
$\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{3\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Это значение находится в требуемом промежутке $(0; \pi)$.

2. Подставим найденное значение в исходное выражение.
Выражение принимает вид: $\frac{2\pi}{3} + 2\pi$.

3. Вычислим сумму.
$\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{2\pi}{3} + \frac{6\pi}{3} = \frac{2\pi + 6\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$.

4. Выделим целую часть из неправильной дроби.
Дробь $\frac{8}{3}$ является неправильной. Представим ее в виде смешанного числа:
$\frac{8}{3} = \frac{6+2}{3} = \frac{6}{3} + \frac{2}{3} = 2 + \frac{2}{3} = 2\frac{2}{3}$.
Таким образом, $\frac{8\pi}{3} = 2\frac{2}{3}\pi$.

Ответ: б) $2\frac{2}{3}\pi$