Номер 1.329, страница 99 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.329. Найдите значение выражения

$\arcsin\left(-\frac{1}{2}\right)-3\arccos\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)+5\text{arcctg}(-1)-\arccos 1$.

Для нахождения значения данного выражения необходимо вычислить значение каждого его члена по отдельности, используя определения и свойства обратных тригонометрических функций.

1. Вычислим значение $\arcsin(-\frac{1}{2})$
   Арксинус является нечетной функцией, для которой справедливо равенство $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$.
   Применим это свойство: $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\arcsin(\frac{1}{2})$.
   По определению, $\arcsin(\frac{1}{2})$ — это угол из промежутка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $\frac{1}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{6}$.
   Следовательно, $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$.
2. Вычислим значение $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})$
   Для арккосинуса отрицательного аргумента используется формула $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$.
   Применим эту формулу: $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$.
   По определению, $\arccos(\frac{\sqrt{2}}{2})$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.
   Следовательно, $\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
3. Вычислим значение $\text{arcctg}(-1)$
   Для арккотангенса отрицательного аргумента используется формула $\text{arcctg}(-x) = \pi - \text{arcctg}(x)$.
   Применим эту формулу: $\text{arcctg}(-1) = \pi - \text{arcctg}(1)$.
   По определению, $\text{arcctg}(1)$ — это угол из промежутка $(0; \pi)$, котангенс которого равен 1. Этот угол равен $\frac{\pi}{4}$.
   Следовательно, $\text{arcctg}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
4. Вычислим значение $\arccos(1)$
   По определению, $\arccos(1)$ — это угол из промежутка $[0; \pi]$, косинус которого равен 1. Этот угол равен 0.
   Следовательно, $\arccos(1) = 0$.

Теперь подставим все найденные значения в исходное выражение:

$\arcsin(-\frac{1}{2})-3\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})+5\text{arcctg}(-1)-\arccos(1) = (-\frac{\pi}{6}) - 3 \cdot (\frac{3\pi}{4}) + 5 \cdot (\frac{3\pi}{4}) - 0$

Выполним вычисления:

$-\frac{\pi}{6} - \frac{9\pi}{4} + \frac{15\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + \frac{15\pi - 9\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + \frac{6\pi}{4} = -\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6:

$-\frac{\pi}{6} + \frac{3\pi \cdot 3}{2 \cdot 3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{9\pi}{6} = \frac{9\pi - \pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3}$

Результатом является неправильная дробь $\frac{4\pi}{3}$. Выделим из нее целую часть:

$\frac{4\pi}{3} = \frac{3\pi + \pi}{3} = \pi + \frac{\pi}{3} = 1\frac{1}{3}\pi$

Найдите значение выражения $\arcsin(-\frac{1}{2})-3\arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2})+5\text{arcctg}(-1)-\arccos1$. Ответ: $1\frac{1}{3}\pi$