Номер 1.328, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.328. Вычислите значение тригонометрической функции, используя значения arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a:

a) $\sin\left(\arccos\frac{1}{2}\right);$

б) $\cos(2\operatorname{arctg} 1);$

в) $\operatorname{ctg}\left(2\arcsin\frac{1}{\sqrt{2}}\right);$

г) $\cos\left(\arccos\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{\pi}{3}\right);$

д) $\operatorname{tg}\left(2\operatorname{arctg}\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)+\frac{\pi}{6}\right);$

е) $\sin\left(\operatorname{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}+2\arccos\frac{1}{2}\right).$

a) Для вычисления $sin(arccos\frac{1}{2})$ сначала найдем значение внутреннего выражения $arccos\frac{1}{2}$.
По определению, $arccos a$ — это угол из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$. Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$ и который принадлежит отрезку $[0; \pi]$, — это $\frac{\pi}{3}$.
Следовательно, $arccos \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.
Теперь подставим это значение в исходное выражение:
$sin(arccos\frac{1}{2}) = sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

б) Для вычисления $cos(2arctg 1)$ сначала найдем значение $arctg 1$.
По определению, $arctg a$ — это угол из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$. Угол, тангенс которого равен 1, — это $\frac{\pi}{4}$.
Следовательно, $arctg 1 = \frac{\pi}{4}$.
Подставляем в выражение:
$cos(2 \cdot \frac{\pi}{4}) = cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.
Ответ: 0.

в) Для вычисления $ctg(2arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}))$ сначала найдем значение $arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}})$.
По определению, $arcsin a$ — это угол из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$. Используем свойство нечетности арксинуса $arcsin(-x) = -arcsin(x)$.
$arcsin(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -arcsin(\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{\pi}{4}$.
Подставляем в выражение:
$ctg(2 \cdot (-\frac{\pi}{4})) = ctg(-\frac{\pi}{2})$.
$ctg(-\frac{\pi}{2}) = \frac{cos(-\pi/2)}{sin(-\pi/2)} = \frac{0}{-1} = 0$.
Ответ: 0.

г) Для вычисления $cos(arccos(-\frac{1}{2}) + \frac{\pi}{3})$ сначала найдем значение $arccos(-\frac{1}{2})$.
Используем свойство $arccos(-x) = \pi - arccos(x)$.
$arccos(-\frac{1}{2}) = \pi - arccos(\frac{1}{2}) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
Подставляем в выражение:
$cos(\frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{3}) = cos(\frac{3\pi}{3}) = cos(\pi) = -1$.
Ответ: -1.

д) Для вычисления $tg(2arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \frac{\pi}{6})$ сначала найдем значение $arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3})$.
Используем свойство нечетности арктангенса $arctg(-x) = -arctg(x)$.
$arctg(-\frac{\sqrt{3}}{3}) = -arctg(\frac{\sqrt{3}}{3}) = -\frac{\pi}{6}$.
Подставляем в выражение:
$tg(2 \cdot (-\frac{\pi}{6}) + \frac{\pi}{6}) = tg(-\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6}) = tg(-\frac{2\pi}{6} + \frac{\pi}{6}) = tg(-\frac{\pi}{6})$.
$tg(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

е) Для вычисления $sin(arcctg\frac{\sqrt{3}}{3} + 2arccos\frac{1}{2})$ вычислим значения аркфункций в скобках.
1. $arcctg\frac{\sqrt{3}}{3}$. По определению, $arcctg a$ — это угол из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $a$. Угол, котангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$ (или тангенс равен $\sqrt{3}$), это $\frac{\pi}{3}$.
2. $arccos\frac{1}{2} = \frac{\pi}{3}$.
Подставляем значения в исходное выражение:
$sin(\frac{\pi}{3} + 2 \cdot \frac{\pi}{3}) = sin(\frac{\pi}{3} + \frac{2\pi}{3}) = sin(\frac{3\pi}{3}) = sin(\pi) = 0$.
Ответ: 0.