Номер 1.325, страница 98 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.325. Оцените значение выражения:

a) $\text{arctg } b - 2\pi$;

б) $3\arcsin b + \frac{\pi}{6}$.

а) arcctg b - 2π;

Для оценки значения выражения воспользуемся свойством функции арккотангенс. Область значений функции $y = \text{arcctg } b$ для любого действительного $b$ есть интервал $(0, \pi)$. Это можно записать в виде двойного неравенства:

$0 < \text{arcctg } b < \pi$

Теперь, чтобы оценить выражение $\text{arcctg } b - 2\pi$, вычтем $2\pi$ из всех трех частей неравенства:

$0 - 2\pi < \text{arcctg } b - 2\pi < \pi - 2\pi$

Выполнив вычитание, получаем:

$-2\pi < \text{arcctg } b - 2\pi < -\pi$

Это означает, что значение исходного выражения находится в интервале от $-2\pi$ до $-\pi$.

Ответ: значение выражения принадлежит интервалу $(-2\pi, -\pi)$.

б) 3arcsin b + π/6;

Для оценки значения этого выражения воспользуемся свойством функции арксинус. Область определения арксинуса – это отрезок $[-1, 1]$, а область значений – отрезок $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$. Таким образом, для любого допустимого значения $b$ справедливо неравенство:

$-\frac{\pi}{2} \le \text{arcsin } b \le \frac{\pi}{2}$

Сначала умножим все части неравенства на 3:

$3 \cdot \left(-\frac{\pi}{2}\right) \le 3\text{arcsin } b \le 3 \cdot \frac{\pi}{2}$

$-\frac{3\pi}{2} \le 3\text{arcsin } b \le \frac{3\pi}{2}$

Далее прибавим $\frac{\pi}{6}$ ко всем частям полученного неравенства:

$-\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6} \le 3\text{arcsin } b + \frac{\pi}{6} \le \frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$

Приведем дроби к общему знаменателю 6 и выполним сложение:

$-\frac{9\pi}{6} + \frac{\pi}{6} \le 3\text{arcsin } b + \frac{\pi}{6} \le \frac{9\pi}{6} + \frac{\pi}{6}$

$-\frac{8\pi}{6} \le 3\text{arcsin } b + \frac{\pi}{6} \le \frac{10\pi}{6}$

Сократим дроби в левой и правой частях:

$-\frac{4\pi}{3} \le 3\text{arcsin } b + \frac{\pi}{6} \le \frac{5\pi}{3}$

Таким образом, значение выражения лежит в отрезке от $-\frac{4\pi}{3}$ до $\frac{5\pi}{3}$. Для выполнения требования о выделении целой части, представим неправильные дроби в виде смешанных чисел:

$-\frac{4\pi}{3} = -1\frac{1}{3}\pi$

$\frac{5\pi}{3} = 1\frac{2}{3}\pi$

Ответ: значение выражения принадлежит отрезку $[-1\frac{1}{3}\pi, 1\frac{2}{3}\pi]$.