Номер 1.312, страница 96 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.312. Используйте определение $\arcsin a$, $\arccos a$, $\operatorname{arctg} a$ или $\operatorname{arcctg} a$ и найдите значение выражения:

а) $\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2}$;

б) $\arcsin \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$;

в) $\arcsin 0$;

г) $\arcsin (-1)$;

д) $\arccos \frac{1}{2}$;

е) $\arccos \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$;

ж) $\arccos 1$;

з) $\arccos 0$;

и) $\operatorname{arctg} 1$;

к) $\operatorname{arctg} \sqrt{3}$;

л) $\operatorname{arctg} 0$;

м) $\operatorname{arctg} \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)$;

н) $\operatorname{arcctg} \frac{\sqrt{3}}{3}$;

о) $\operatorname{arcctg} 0$;

п) $\operatorname{arcctg} (-\sqrt{3})$;

р) $\operatorname{arcctg} (-1)$.

Для решения данных задач воспользуемся определениями обратных тригонометрических функций.

• Арксинус числа a ($\arcsin a$) – это такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, синус которого равен $a$.
• Арккосинус числа a ($\arccos a$) – это такое число (угол) $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, косинус которого равен $a$.
• Арктангенс числа a ($\operatorname{arctg} a$) – это такое число (угол) $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, тангенс которого равен $a$.
• Арккотангенс числа a ($\operatorname{arcctg} a$) – это такое число (угол) $\alpha$ из интервала $(0; \pi)$, котангенс которого равен $a$.

а) $\arcsin\frac{\sqrt{3}}{2}$
Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Из таблицы значений тригонометрических функций мы знаем, что $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Так как $\frac{\pi}{3} \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, то это и есть искомое значение.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$

б) $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2})$
Нужно найти угол $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. Используем свойство нечетности арксинуса: $\arcsin(-x) = -\arcsin(x)$. Сначала найдем $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}$. Это угол $\frac{\pi}{4}$, так как $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Следовательно, $\arcsin(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\arcsin(\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{\pi}{4}$. Значение $-\frac{\pi}{4}$ принадлежит отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4}$

в) $\arcsin 0$
Нужно найти угол $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = 0$. Этим углом является $0$, так как $\sin 0 = 0$ и $0 \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Ответ: $0$

г) $\arcsin(-1)$
Нужно найти угол $\alpha \in [-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$, для которого $\sin \alpha = -1$. Этим углом является $-\frac{\pi}{2}$, так как $\sin(-\frac{\pi}{2}) = -1$ и $-\frac{\pi}{2}$ является концом отрезка $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.
Ответ: $-\frac{\pi}{2}$

д) $\arccos\frac{1}{2}$
Нам нужно найти угол $\alpha$ из отрезка $[0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = \frac{1}{2}$. Из таблицы значений мы знаем, что $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$. Так как $\frac{\pi}{3} \in [0; \pi]$, то это искомое значение.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$

е) $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2})$
Нужно найти угол $\alpha \in [0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Используем свойство $\arccos(-x) = \pi - \arccos(x)$. Сначала найдем $\arccos \frac{\sqrt{3}}{2}$. Это угол $\frac{\pi}{6}$, так как $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Тогда $\arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Значение $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит отрезку $[0; \pi]$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

ж) $\arccos 1$
Нужно найти угол $\alpha \in [0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = 1$. Этим углом является $0$, так как $\cos 0 = 1$ и $0 \in [0; \pi]$.
Ответ: $0$

з) $\arccos 0$
Нужно найти угол $\alpha \in [0; \pi]$, для которого $\cos \alpha = 0$. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$, так как $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in [0; \pi]$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$

и) $\operatorname{arctg} 1$
Нужно найти угол $\alpha$ из интервала $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\operatorname{tg} \alpha = 1$. Этим углом является $\frac{\pi}{4}$, так как $\operatorname{tg} \frac{\pi}{4} = 1$ и $\frac{\pi}{4} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $\frac{\pi}{4}$

к) $\operatorname{arctg} \sqrt{3}$
Нужно найти угол $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\operatorname{tg} \alpha = \sqrt{3}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$, так как $\operatorname{tg} \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$ и $\frac{\pi}{3} \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$

л) $\operatorname{arctg} 0$
Нужно найти угол $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\operatorname{tg} \alpha = 0$. Этим углом является $0$, так как $\operatorname{tg} 0 = 0$ и $0 \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $0$

м) $\operatorname{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}})$
Нужно найти угол $\alpha \in (-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$, для которого $\operatorname{tg} \alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$. Используем свойство нечетности арктангенса: $\operatorname{arctg}(-x) = -\operatorname{arctg}(x)$. $\operatorname{arctg}(\frac{1}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{6}$. Следовательно, $\operatorname{arctg}(-\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{\pi}{6}$. Значение $-\frac{\pi}{6}$ принадлежит интервалу $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$.
Ответ: $-\frac{\pi}{6}$

н) $\operatorname{arcctg}\frac{\sqrt{3}}{3}$
Заметим, что $\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Нужно найти угол $\alpha$ из интервала $(0; \pi)$, для которого $\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$. Этим углом является $\frac{\pi}{3}$, так как $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ и $\frac{\pi}{3} \in (0; \pi)$.
Ответ: $\frac{\pi}{3}$

о) $\operatorname{arcctg} 0$
Нужно найти угол $\alpha \in (0; \pi)$, для которого $\operatorname{ctg} \alpha = 0$. Этим углом является $\frac{\pi}{2}$, так как $\operatorname{ctg} \frac{\pi}{2} = 0$ и $\frac{\pi}{2} \in (0; \pi)$.
Ответ: $\frac{\pi}{2}$

п) $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3})$
Нужно найти угол $\alpha \in (0; \pi)$, для которого $\operatorname{ctg} \alpha = -\sqrt{3}$. Используем свойство $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x)$. $\operatorname{arcctg}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$. Следовательно, $\operatorname{arcctg}(-\sqrt{3}) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$. Значение $\frac{5\pi}{6}$ принадлежит интервалу $(0; \pi)$.
Ответ: $\frac{5\pi}{6}$

р) $\operatorname{arcctg}(-1)$
Нужно найти угол $\alpha \in (0; \pi)$, для которого $\operatorname{ctg} \alpha = -1$. Используем свойство $\operatorname{arcctg}(-x) = \pi - \operatorname{arcctg}(x)$. $\operatorname{arcctg}(1) = \frac{\pi}{4}$. Следовательно, $\operatorname{arcctg}(-1) = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$. Значение $\frac{3\pi}{4}$ принадлежит интервалу $(0; \pi)$.
Ответ: $\frac{3\pi}{4}$