Номер 1.307, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.307. В геометрической прогрессии $b_1 = 0,125$, $q = 2$. Найдите $b_{10}$ и $S_{10}$.

Для решения задачи воспользуемся стандартными формулами для геометрической прогрессии. Нам даны первый член прогрессии $b_1 = 0,125$ и знаменатель $q = 2$.

$b_{10}$

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Чтобы упростить вычисления, представим первый член $b_1$ в виде обыкновенной дроби: $0,125 = \frac{125}{1000} = \frac{1}{8}$.

Теперь подставим известные значения в формулу для нахождения $b_{10}$ (где $n=10$):

$b_{10} = \frac{1}{8} \cdot 2^{10-1} = \frac{1}{8} \cdot 2^9$

Так как $8 = 2^3$, мы можем упростить выражение, используя свойства степеней:

$b_{10} = \frac{1}{2^3} \cdot 2^9 = 2^{9-3} = 2^6 = 64$.

Ответ: 64

$S_{10}$

Для нахождения суммы первых n членов геометрической прогрессии используется формула: $S_n = \frac{b_1(q^n - 1)}{q-1}$.

Подставим наши значения $b_1 = \frac{1}{8}$, $q = 2$ и $n = 10$ в эту формулу:

$S_{10} = \frac{\frac{1}{8}(2^{10} - 1)}{2 - 1}$

Сначала вычислим знаменатель дроби: $2 - 1 = 1$. Затем вычислим степень: $2^{10} = 1024$.

$S_{10} = \frac{\frac{1}{8}(1024 - 1)}{1} = \frac{1}{8}(1023) = \frac{1023}{8}$

Мы получили неправильную дробь. Преобразуем ее в смешанное число, выделив целую часть. Для этого разделим числитель на знаменатель с остатком:

$1023 \div 8 = 127$ (остаток $7$).

Следовательно, сумма первых десяти членов прогрессии равна $127\frac{7}{8}$.

Ответ: 127$\frac{7}{8}$