Номер 1.300, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.300. Используя свойства функции $y = \text{ctg } x$, сравните числа $\text{ctg }(-100^\circ)$ и $\text{ctg }(-30^\circ)$.

Для того чтобы сравнить числа $ \ctg(-100^\circ) $ и $ \ctg(-30^\circ) $, необходимо использовать свойства функции $ y = \ctg x $.

Воспользуемся двумя ключевыми свойствами функции котангенс:

1. Периодичность. Функция $ y = \ctg x $ является периодической с основным периодом $ 180^\circ $ (или $ \pi $ радиан). Это означает, что для любого угла $ \alpha $ и целого числа $ k $ выполняется равенство $ \ctg(\alpha) = \ctg(\alpha + 180^\circ \cdot k) $.
2. Монотонность. Функция $ y = \ctg x $ является строго убывающей на каждом интервале своей области определения, в частности на интервале $ (0^\circ; 180^\circ) $. Это значит, что если $ 0^\circ < \alpha_1 < \alpha_2 < 180^\circ $, то $ \ctg(\alpha_1) > \ctg(\alpha_2) $.

Приведем аргументы $ -100^\circ $ и $ -30^\circ $ к основному интервалу монотонности $ (0^\circ; 180^\circ) $, используя свойство периодичности (прибавим $ 180^\circ $):

• $ \ctg(-100^\circ) = \ctg(-100^\circ + 180^\circ) = \ctg(80^\circ) $
• $ \ctg(-30^\circ) = \ctg(-30^\circ + 180^\circ) = \ctg(150^\circ) $

Теперь задача сводится к сравнению значений $ \ctg(80^\circ) $ и $ \ctg(150^\circ) $.
Сравним сами аргументы:

$ 80^\circ < 150^\circ $

Поскольку оба угла, $ 80^\circ $ и $ 150^\circ $, принадлежат интервалу $ (0^\circ; 180^\circ) $, на котором функция котангенс строго убывает, то большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Таким образом:

$ \ctg(80^\circ) > \ctg(150^\circ) $

Выполнив обратную замену, получаем итоговое сравнение:

$ \ctg(-100^\circ) > \ctg(-30^\circ) $

Ответ: $ \ctg(-100^\circ) > \ctg(-30^\circ) $