Номер 1.296, страница 86 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.296. Используя свойство нечетности функции $f(x) = \text{ctg } x$, найдите:

a) $ \text{ctg} \left(-\frac{\pi}{3}\right) $;

б) $ \text{ctg} \left(-\frac{\pi}{4}\right) $;

в) $ \text{ctg} \left(-\frac{\pi}{2}\right) $;

г) $ \text{ctg} \left(-\frac{\pi}{6}\right) $.

По условию задачи, необходимо использовать свойство нечетности функции $f(x) = \text{ctg}\,x$. Нечетная функция — это функция, для которой выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения. Таким образом, для функции котангенса справедливо: $$ \text{ctg}(-x) = -\text{ctg}\,x $$ Применим это свойство для решения каждого пункта.

а) $\text{ctg}(-\frac{\pi}{3})$
Используя свойство нечетности, получаем: $$ \text{ctg}(-\frac{\pi}{3}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{3}) $$ Значение $\text{ctg}(\frac{\pi}{3})$ является табличным и равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$. Следовательно: $$ \text{ctg}(-\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{3} $$ Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

б) $\text{ctg}(-\frac{\pi}{4})$
Используя свойство нечетности, получаем: $$ \text{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) $$ Табличное значение $\text{ctg}(\frac{\pi}{4})$ равно $1$. Следовательно: $$ \text{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = -1 $$ Ответ: $-1$

в) $\text{ctg}(-\frac{\pi}{2})$
Используя свойство нечетности, получаем: $$ \text{ctg}(-\frac{\pi}{2}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{2}) $$ Значение $\text{ctg}(\frac{\pi}{2})$ можно найти через отношение косинуса к синусу: $\text{ctg}(\frac{\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{2})} = \frac{0}{1} = 0$. Следовательно: $$ \text{ctg}(-\frac{\pi}{2}) = -0 = 0 $$ Ответ: $0$

г) $\text{ctg}(-\frac{\pi}{6})$
Используя свойство нечетности, получаем: $$ \text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{6}) $$ Табличное значение $\text{ctg}(\frac{\pi}{6})$ равно $\sqrt{3}$. Следовательно: $$ \text{ctg}(-\frac{\pi}{6}) = -\sqrt{3} $$ Ответ: $-\sqrt{3}$