Номер 1.291, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.291. Определите, принадлежит ли графику функции $y = \operatorname{ctg} x$ точка:

а) $A(-\frac{\pi}{4}; -1)$;

б) $B(\frac{3\pi}{2}; 0)$;

в) $C(2\pi; 0)$.

Для того чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты точки $(x_0; y_0)$ в уравнение функции $y = \text{ctg } x$ и проверить, выполняется ли равенство $y_0 = \text{ctg } x_0$.

а) Проверяем точку $A(-\frac{\pi}{4}; -1)$.
Подставляем $x = -\frac{\pi}{4}$ в функцию:
$y = \text{ctg}(-\frac{\pi}{4})$
Используем свойство нечетности функции котангенс: $\text{ctg}(-x) = -\text{ctg}(x)$.
$\text{ctg}(-\frac{\pi}{4}) = -\text{ctg}(\frac{\pi}{4}) = -1$.
Полученное значение $y=-1$ совпадает с ординатой точки A. Равенство $-1 = -1$ верно.
Ответ: да, принадлежит. б) Проверяем точку $B(\frac{3\pi}{2}; 0)$.
Подставляем $x = \frac{3\pi}{2}$ в функцию:
$y = \text{ctg}(\frac{3\pi}{2})$
Используем определение котангенса $\text{ctg } x = \frac{\cos x}{\sin x}$:
$\text{ctg}(\frac{3\pi}{2}) = \frac{\cos(\frac{3\pi}{2})}{\sin(\frac{3\pi}{2})} = \frac{0}{-1} = 0$.
Полученное значение $y=0$ совпадает с ординатой точки B. Равенство $0 = 0$ верно.
Ответ: да, принадлежит. в) Проверяем точку $C(2\pi; 0)$.
Подставляем $x = 2\pi$ в функцию:
$y = \text{ctg}(2\pi)$
Область определения функции $y = \text{ctg } x$ — это все действительные числа, кроме $x = k\pi$, где $k$ — целое число, так как в этих точках $\sin x = 0$ и происходит деление на ноль.
Абсцисса точки C, $x=2\pi$, соответствует случаю, когда $k=2$. В этой точке значение функции не определено.
Следовательно, точка C не может принадлежать графику функции.
Ответ: нет, не принадлежит.