Номер 1.288, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.288. Используя свойства функции $y = \operatorname{tg} x$, сравните числа $\operatorname{tg} \frac{\pi}{5}$ и $\operatorname{tg} \frac{4\pi}{9}$.

Для сравнения чисел $\tan\frac{\pi}{5}$ и $\tan\frac{4\pi}{9}$ необходимо использовать свойства функции $y = \tan(x)$.

Ключевым свойством функции тангенса является её монотонность. Функция $y = \tan(x)$ строго возрастает на каждом из интервалов своей области определения, в частности, на интервале $(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2})$. Это означает, что если для двух аргументов $x_1$ и $x_2$ из этого интервала выполняется неравенство $x_1 < x_2$, то и для значений функции будет выполняться неравенство $\tan(x_1) < \tan(x_2)$.

Сначала определим, находятся ли аргументы $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{4\pi}{9}$ в одном интервале монотонности. Проверим их принадлежность интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$:

• Аргумент $\frac{\pi}{5}$: неравенство $0 < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2}$ эквивалентно $0 < \frac{1}{5} < \frac{1}{2}$. Так как $1/5 = 0.2$, а $1/2 = 0.5$, неравенство $0 < 0.2 < 0.5$ верно.
• Аргумент $\frac{4\pi}{9}$: неравенство $0 < \frac{4\pi}{9} < \frac{\pi}{2}$ эквивалентно $0 < \frac{4}{9} < \frac{1}{2}$. Так как $4/9 \approx 0.444...$, неравенство $0 < 0.444... < 0.5$ верно.

Таким образом, оба аргумента принадлежат интервалу $(0; \frac{\pi}{2})$, на котором функция $y = \tan(x)$ строго возрастает.

Теперь сравним сами аргументы $\frac{\pi}{5}$ и $\frac{4\pi}{9}$. Для этого приведём дроби к общему знаменателю $45$: $$ \frac{\pi}{5} = \frac{9\pi}{45} $$ $$ \frac{4\pi}{9} = \frac{20\pi}{45} $$ Поскольку $9 < 20$, очевидно, что $\frac{9\pi}{45} < \frac{20\pi}{45}$, а значит $\frac{\pi}{5} < \frac{4\pi}{9}$.

Так как функция $y = \tan(x)$ возрастает на интервале, содержащем оба аргумента, и $\frac{\pi}{5} < \frac{4\pi}{9}$, то меньшему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Ответ: $\tan\frac{\pi}{5} < \tan\frac{4\pi}{9}$.