Номер 1.285, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.285. Используя свойства функции $f(x) = \operatorname{tg}x$, найдите:

a) $f(-5\pi);$

б) $f\left(-\frac{21\pi}{4}\right);$

в) $f\left(-\frac{19\pi}{3}\right).$

Для решения задачи воспользуемся основными свойствами функции $f(x) = \tg x$:

• Нечетность: для любого $x$ из области определения выполняется равенство $\tg(-x) = -\tg(x)$.
• Периодичность: функция является периодической с наименьшим положительным периодом $\pi$. Это означает, что $\tg(x + \pi k) = \tg(x)$ для любого целого числа $k$.

а) $f(-5\pi) = \tg(-5\pi)$.
Используя свойство периодичности, где $k=-5$ (целое число), мы можем отбросить целое число периодов:
$\tg(-5\pi) = \tg(0 + (-5)\pi) = \tg(0) = 0$.
Ответ: 0.

б) $f(-\frac{21\pi}{4}) = \tg(-\frac{21\pi}{4})$.
Сначала воспользуемся свойством нечетности функции, чтобы вынести минус из аргумента:
$\tg(-\frac{21\pi}{4}) = -\tg(\frac{21\pi}{4})$.
Теперь преобразуем аргумент $\frac{21\pi}{4}$, выделив целое число периодов. Для этого представим неправильную дробь в виде смешанного числа: $\frac{21}{4} = 5\frac{1}{4}$.
Следовательно, $\frac{21\pi}{4} = 5\pi + \frac{\pi}{4}$.
Подставляем в выражение и используем свойство периодичности:
$-\tg(\frac{21\pi}{4}) = -\tg(5\pi + \frac{\pi}{4}) = -\tg(\frac{\pi}{4}) = -1$.
Ответ: -1.

в) $f(-\frac{19\pi}{3}) = \tg(-\frac{19\pi}{3})$.
Используя свойство нечетности:
$\tg(-\frac{19\pi}{3}) = -\tg(\frac{19\pi}{3})$.
Далее, упростим аргумент $\frac{19\pi}{3}$. Представим дробь в виде смешанного числа: $\frac{19}{3} = 6\frac{1}{3}$.
Значит, $\frac{19\pi}{3} = 6\pi + \frac{\pi}{3}$.
Подставляем и используем свойство периодичности:
$-\tg(\frac{19\pi}{3}) = -\tg(6\pi + \frac{\pi}{3}) = -\tg(\frac{\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$.