Номер 1.284, страница 85 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.284. Используя свойство нечетности функции $f(x) = \text{tg}x$, найдите:

a) $\text{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right)$;

б) $\text{tg}(-3\pi)$.

Для решения задачи используется свойство нечетности функции тангенс. Функция $f(x)$ называется нечетной, если для любого $x$ из ее области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Для функции $f(x) = \operatorname{tg} x$ это свойство выглядит так:

$\operatorname{tg}(-x) = -\operatorname{tg}(x)$

Применим это свойство к каждому из пунктов.

а) Найдем значение $\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6})$.

Используя свойство нечетности функции тангенс, получаем:

$\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})$

Согласно таблице значений тригонометрических функций, значение $\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6})$ равно:

$\operatorname{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Подставив это значение в наше выражение, получаем:

$\operatorname{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

б) Найдем значение $\operatorname{tg}(-3\pi)$.

Используя свойство нечетности функции тангенс, получаем:

$\operatorname{tg}(-3\pi) = -\operatorname{tg}(3\pi)$

Функция тангенс является периодической с основным периодом $\pi$. Это означает, что $\operatorname{tg}(x + k\pi) = \operatorname{tg}(x)$ для любого целого числа $k$.

В нашем случае, $3\pi = 0 + 3\pi$, поэтому:

$\operatorname{tg}(3\pi) = \operatorname{tg}(0) = 0$

Подставив это значение, получаем:

$\operatorname{tg}(-3\pi) = -0 = 0$

Ответ: $0$.