Номер 1.279, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.279. Верно ли, что график функции $y = \operatorname{tg} x$ проходит через точку:

а) $A\left(\frac{\pi}{4}; 1\right);$

б) $B(2\pi; 0);$

в) $C\left(\frac{\pi}{2}; -1\right)?$

Для того чтобы определить, проходит ли график функции через заданную точку, необходимо подставить координаты этой точки в уравнение функции. Если в результате подстановки получается верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

Функция задана уравнением: $y = \operatorname{tg} x$.

а) Проверим, проходит ли график через точку $A(\frac{\pi}{4}; 1)$.

Подставим координаты точки $x = \frac{\pi}{4}$ и $y = 1$ в уравнение функции:

$1 = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{4})$

Известно, что значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ (или 45°) равно 1. Таким образом, мы получаем равенство:

$1 = 1$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку $A(\frac{\pi}{4}; 1)$.

Ответ: Да.

б) Проверим, проходит ли график через точку $B(2\pi; 0)$.

Подставим координаты точки $x = 2\pi$ и $y = 0$ в уравнение функции:

$0 = \operatorname{tg}(2\pi)$

Используя определение тангенса $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$, вычислим значение:

$\operatorname{tg}(2\pi) = \frac{\sin(2\pi)}{\cos(2\pi)} = \frac{0}{1} = 0$

Получаем равенство:

$0 = 0$

Равенство верное, следовательно, график функции проходит через точку $B(2\pi; 0)$.

Ответ: Да.

в) Проверим, проходит ли график через точку $C(\frac{\pi}{2}; -1)$.

Подставим абсциссу точки $x = \frac{\pi}{2}$ в уравнение функции:

$y = \operatorname{tg}(\frac{\pi}{2})$

Функция тангенс не определена в точках вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ – любое целое число, так как в этих точках $\cos x = 0$, а деление на ноль в математике не определено. Точка $x = \frac{\pi}{2}$ как раз является одной из таких точек.

Поскольку значение $x = \frac{\pi}{2}$ не входит в область определения функции $y = \operatorname{tg} x$, график функции не может проходить через какую-либо точку с этой абсциссой. В этих точках у графика функции находятся вертикальные асимптоты.

Ответ: Нет.