Номер 1.274, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.274. Верно ли, что $ctg x < 0$, если:

а) $x \in (0; \frac{\pi}{2})$;

б) $x \in (-\frac{5\pi}{2}; -2\pi)$;

В) $x \in (\frac{5\pi}{2}; 3\pi)$;

Г) $x \in (-\pi; -\frac{\pi}{2})$?

Для того чтобы определить, верно ли неравенство $ctg\,x < 0$, необходимо проанализировать знак котангенса на каждом из заданных интервалов. Функция котангенса, определяемая как $ctg\,x = \frac{\cos x}{\sin x}$, отрицательна в тех четвертях, где синус и косинус имеют разные знаки. Это II и IV координатные четверти.

В общем виде, неравенство $ctg\,x < 0$ выполняется для всех $x$, принадлежащих интервалам вида $(\frac{\pi}{2} + \pi n; \pi + \pi n)$, где $n$ — любое целое число.

а) Интервал $x \in (0; \frac{\pi}{2})$ соответствует I координатной четверти. В этой четверти $\cos x > 0$ и $\sin x > 0$, следовательно, $ctg\,x > 0$. Утверждение неверно.
Ответ: Нет.

б) Рассмотрим интервал $x \in (-\frac{5\pi}{2}; -2\pi)$. Выделим целую часть из дроби: $-\frac{5\pi}{2} = -2\frac{1}{2}\pi$. Интервал имеет вид $(-2\frac{1}{2}\pi; -2\pi)$. Чтобы определить его положение на тригонометрической окружности, можно прибавить к его границам период $2\pi$:

$-\frac{5\pi}{2} + 2\pi = -\frac{\pi}{2}$

$-2\pi + 2\pi = 0$

Полученный интервал $(-\frac{\pi}{2}; 0)$ соответствует IV координатной четверти. В этой четверти $\cos x > 0$ и $\sin x < 0$, поэтому $ctg\,x < 0$. Утверждение верно.
Ответ: Да.

в) Рассмотрим интервал $x \in (\frac{5\pi}{2}; 3\pi)$. Выделим целую часть из дроби: $\frac{5\pi}{2} = 2\frac{1}{2}\pi$. Интервал имеет вид $(2\frac{1}{2}\pi; 3\pi)$. Чтобы определить его положение на тригонометрической окружности, можно вычесть из его границ период $2\pi$:

$\frac{5\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi}{2}$

$3\pi - 2\pi = \pi$

Полученный интервал $(\frac{\pi}{2}; \pi)$ соответствует II координатной четверти. В этой четверти $\cos x < 0$ и $\sin x > 0$, поэтому $ctg\,x < 0$. Утверждение верно.
Ответ: Да.

г) Интервал $x \in (-\pi; -\frac{\pi}{2})$ соответствует III координатной четверти. В этой четверти $\cos x < 0$ и $\sin x < 0$, следовательно, их отношение $ctg\,x$ положительно. Утверждение неверно.
Ответ: Нет.