Номер 1.269, страница 84 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.269. Используя свойство периодичности функции $f(x) = \text{ctg}\,x$, найдите:

а) $\text{ctg}\,\frac{19\pi}{6}$;

б) $\text{ctg}\,\frac{21\pi}{4}$;

в) $\text{ctg}\,\frac{28\pi}{3}$;

г) $\text{ctg}\,\frac{11\pi}{2}$.

Для нахождения значений воспользуемся свойством периодичности функции $f(x) = \text{ctg}\,x$. Основной период котангенса равен $T = \pi$, что означает $\text{ctg}\,(x + k\pi) = \text{ctg}\,x$ для любого целого числа $k$.

В каждом пункте мы представляем аргумент котангенса в виде суммы, где одно слагаемое кратно периоду $\pi$, а второе — табличный угол.

а) Найдем значение $\text{ctg}\,\frac{19\pi}{6}$.

Сначала выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{19}{6}$, чтобы извлечь целое число периодов:

$\frac{19\pi}{6} = \frac{18\pi + \pi}{6} = \frac{18\pi}{6} + \frac{\pi}{6} = 3\pi + \frac{\pi}{6}$.

Теперь, используя свойство периодичности при $k=3$, отбрасываем $3\pi$:

$\text{ctg}\,\frac{19\pi}{6} = \text{ctg}\,(3\pi + \frac{\pi}{6}) = \text{ctg}\,\frac{\pi}{6} = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$

б) Найдем значение $\text{ctg}\,\frac{21\pi}{4}$.

Выделим целую часть из дроби $\frac{21}{4}$:

$\frac{21\pi}{4} = \frac{20\pi + \pi}{4} = \frac{20\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = 5\pi + \frac{\pi}{4}$.

Применяем свойство периодичности при $k=5$:

$\text{ctg}\,\frac{21\pi}{4} = \text{ctg}\,(5\pi + \frac{\pi}{4}) = \text{ctg}\,\frac{\pi}{4} = 1$.

Ответ: $1$

в) Найдем значение $\text{ctg}\,\frac{28\pi}{3}$.

Выделим целую часть из дроби $\frac{28}{3}$:

$\frac{28\pi}{3} = \frac{27\pi + \pi}{3} = \frac{27\pi}{3} + \frac{\pi}{3} = 9\pi + \frac{\pi}{3}$.

Применяем свойство периодичности при $k=9$:

$\text{ctg}\,\frac{28\pi}{3} = \text{ctg}\,(9\pi + \frac{\pi}{3}) = \text{ctg}\,\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

г) Найдем значение $\text{ctg}\,\frac{11\pi}{2}$.

Выделим целую часть из дроби $\frac{11}{2}$:

$\frac{11\pi}{2} = \frac{10\pi + \pi}{2} = \frac{10\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 5\pi + \frac{\pi}{2}$.

Применяем свойство периодичности при $k=5$:

$\text{ctg}\,\frac{11\pi}{2} = \text{ctg}\,(5\pi + \frac{\pi}{2}) = \text{ctg}\,\frac{\pi}{2} = 0$.

Ответ: $0$