Номер 1.264, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.264. С помощью графика функции $y = \text{tg} x$ постройте график функции:

а) $y = \text{tg}\left(x + \frac{\pi}{3}\right)$;

б) $y = \text{tg} x - 1.

Чтобы построить графики заданных функций, мы будем использовать преобразования графика базовой функции $y = \operatorname{tg}x$.

График функции $y = f(x+c)$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси абсцисс (OX). Если $c > 0$, сдвиг происходит влево на $c$ единиц. Если $c < 0$, сдвиг происходит вправо на $|c|$ единиц.

В нашем случае функция имеет вид $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{3})$. Здесь $f(x) = \operatorname{tg}x$ и $c = \frac{\pi}{3}$.

Поскольку $c = \frac{\pi}{3} > 0$, для построения графика функции $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{3})$ необходимо сдвинуть график функции $y = \operatorname{tg}x$ влево вдоль оси OX на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

• Вертикальные асимптоты графика $y = \operatorname{tg}x$, которые находятся в точках $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$, смещаются влево на $\frac{\pi}{3}$. Новые асимптоты будут находиться в точках $x = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} + \pi n = \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
• Нули функции (точки пересечения с осью OX), которые для $y = \operatorname{tg}x$ находятся в точках $x = \pi n, n \in \mathbb{Z}$, смещаются влево. Например, точка $(0, 0)$ перейдет в точку $(-\frac{\pi}{3}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg}(x + \frac{\pi}{3})$ получается из графика функции $y = \operatorname{tg}x$ сдвигом влево вдоль оси абсцисс на $\frac{\pi}{3}$.

График функции $y = f(x) + d$ получается из графика функции $y = f(x)$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси ординат (OY). Если $d > 0$, сдвиг происходит вверх на $d$ единиц. Если $d < 0$, сдвиг происходит вниз на $|d|$ единиц.

В нашем случае функция имеет вид $y = \operatorname{tg}x - 1$. Здесь $f(x) = \operatorname{tg}x$ и $d = -1$.

Поскольку $d = -1 < 0$, для построения графика функции $y = \operatorname{tg}x - 1$ необходимо сдвинуть график функции $y = \operatorname{tg}x$ вниз вдоль оси OY на $1$ единицу.

• Вертикальные асимптоты $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$ остаются на своих местах, так как сдвиг происходит по вертикали.
• Каждая точка графика смещается на 1 единицу вниз. Например, точка $(0, 0)$ перейдет в точку $(0, -1)$. Точка $(\frac{\pi}{4}, 1)$ перейдет в точку $(\frac{\pi}{4}, 0)$.

Ответ: График функции $y = \operatorname{tg}x - 1$ получается из графика функции $y = \operatorname{tg}x$ сдвигом вниз вдоль оси ординат на $1$.