Номер 1.257, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.257. Используя свойства периодичности и нечетности функции $f(x) = \text{tg }x$, найдите:

а) $f\left(-\frac{7\pi}{3}\right)$;

б) $f\left(-\frac{33\pi}{4}\right)$;

в) $f\left(-\frac{67\pi}{6}\right)$;

г) $f(-57\pi)$.

Для решения задачи воспользуемся двумя основными свойствами функции $f(x) = \mathrm{tg}\,x$:

1. Нечетность: функция является нечетной, то есть $f(-x) = -f(x)$ или $\mathrm{tg}(-x) = -\mathrm{tg}(x)$ для любого $x$ из области определения.
2. Периодичность: функция является периодической с наименьшим положительным периодом $T = \pi$, то есть $f(x+k\pi) = f(x)$ или $\mathrm{tg}(x+k\pi) = \mathrm{tg}(x)$ для любого целого числа $k$.

а) Используя свойство нечетности, получаем:
$f(-\frac{7\pi}{3}) = \mathrm{tg}(-\frac{7\pi}{3}) = -\mathrm{tg}(\frac{7\pi}{3})$.
Далее, используя свойство периодичности, выделим целое число периодов. Представим дробь в виде смешанного числа, выделив целую часть: $\frac{7}{3} = \mathbf{2}\frac{1}{3}$.
$\mathrm{tg}(\frac{7\pi}{3}) = \mathrm{tg}((\mathbf{2}+\frac{1}{3})\pi) = \mathrm{tg}(2\pi + \frac{\pi}{3})$.
Так как период функции равен $\pi$, то $2\pi$ (два периода) можно отбросить:
$\mathrm{tg}(2\pi + \frac{\pi}{3}) = \mathrm{tg}(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
Следовательно, $f(-\frac{7\pi}{3}) = -\sqrt{3}$.
Ответ: $-\sqrt{3}$.

б) Используя свойство нечетности:
$f(-\frac{33\pi}{4}) = \mathrm{tg}(-\frac{33\pi}{4}) = -\mathrm{tg}(\frac{33\pi}{4})$.
Выделим целую часть из неправильной дроби: $\frac{33}{4} = \mathbf{8}\frac{1}{4}$.
Используем периодичность:
$\mathrm{tg}(\frac{33\pi}{4}) = \mathrm{tg}((\mathbf{8}+\frac{1}{4})\pi) = \mathrm{tg}(8\pi + \frac{\pi}{4}) = \mathrm{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$.
Следовательно, $f(-\frac{33\pi}{4}) = -1$.
Ответ: $-1$.

в) Используя свойство нечетности:
$f(-\frac{67\pi}{6}) = \mathrm{tg}(-\frac{67\pi}{6}) = -\mathrm{tg}(\frac{67\pi}{6})$.
Выделим целую часть из дроби: $\frac{67}{6} = \mathbf{11}\frac{1}{6}$.
Используем периодичность:
$\mathrm{tg}(\frac{67\pi}{6}) = \mathrm{tg}((\mathbf{11}+\frac{1}{6})\pi) = \mathrm{tg}(11\pi + \frac{\pi}{6}) = \mathrm{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Следовательно, $f(-\frac{67\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

г) Используя свойство нечетности:
$f(-57\pi) = \mathrm{tg}(-57\pi) = -\mathrm{tg}(57\pi)$.
Используем свойство периодичности. Аргумент $57\pi$ кратен периоду $\pi$ (здесь $k=57$).
$\mathrm{tg}(57\pi) = \mathrm{tg}(0 + 57\pi) = \mathrm{tg}(0) = 0$.
Следовательно, $f(-57\pi) = -0 = 0$.
Ответ: $0$.