Номер 1.251, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.251. С помощью графика функции $y = \operatorname{tg} x$ определите, верно ли, что:

а) при значении аргумента, равном $\frac{\pi}{4}$, значение функции равно 1;

б) числа $\pi$; $2\pi$ являются нулями функции;

в) $\operatorname{tg}\frac{5\pi}{6} = \sqrt{3}$.

а) Для проверки утверждения, что при значении аргумента $x = \frac{\pi}{4}$, значение функции $y = \operatorname{tg} x$ равно 1, обратимся к определению и графику тангенса. Значение тангенса в точке $x = \frac{\pi}{4}$ можно вычислить по формуле $\operatorname{tg} x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

$\operatorname{tg}\frac{\pi}{4} = \frac{\sin\frac{\pi}{4}}{\cos\frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 1$.

Вычисление подтверждает, что утверждение верно. На графике функции $y = \operatorname{tg} x$ (тангенсоиде) точка с абсциссой $x = \frac{\pi}{4}$ имеет ординату $y = 1$. Эта точка является одной из ключевых при построении графика. Таким образом, утверждение верно.

Ответ: Верно.

б) Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Для функции $y = \operatorname{tg} x$ нам нужно проверить, верны ли равенства $\operatorname{tg} \pi = 0$ и $\operatorname{tg} 2\pi = 0$.

Нули тангенса находятся по общей формуле $x = k\pi$, где $k$ – любое целое число.

• При $k=1$, получаем $x = \pi$. Следовательно, $\operatorname{tg} \pi = 0$.
• При $k=2$, получаем $x = 2\pi$. Следовательно, $\operatorname{tg} 2\pi = 0$.

На графике функции $y = \operatorname{tg} x$ видно, что он пересекает ось абсцисс (ось Ox) в точках $x = k\pi$, в том числе и в точках $\pi$ и $2\pi$. Следовательно, числа $\pi$ и $2\pi$ являются нулями функции. Утверждение верно.

Ответ: Верно.

в) Проверим равенство $\operatorname{tg}\frac{5\pi}{6} = \sqrt{3}$.

Угол $\frac{5\pi}{6}$ находится во второй координатной четверти ($ \frac{\pi}{2} < \frac{5\pi}{6} < \pi $), где значения тангенса отрицательны. Уже на этом этапе можно заключить, что равенство неверно, так как $\sqrt{3}$ – положительное число.

Для точности вычислим значение. Используем формулу приведения: $\operatorname{tg}(\pi - \alpha) = -\operatorname{tg}\alpha$.

$\operatorname{tg}\frac{5\pi}{6} = \operatorname{tg}(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\operatorname{tg}\frac{\pi}{6}$.

Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\operatorname{tg}\frac{\pi}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Следовательно, $\operatorname{tg}\frac{5\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Так как $-\frac{\sqrt{3}}{3} \neq \sqrt{3}$, утверждение неверно.

Ответ: Неверно.