Номер 1.252, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.252. Найдите несколько значений аргумента, при которых функция $y = \operatorname{tg} x$ принимает значение, равное $-1$.

Для нахождения значений аргумента $x$, при которых функция $y = \text{tg}\,x$ принимает значение, равное -1, необходимо решить тригонометрическое уравнение:

$\text{tg}\,x = -1$

Общее решение этого уравнения находится по формуле:

$x = \text{arctg}(a) + \pi k$, где $a$ - значение тангенса, а $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

В данном случае $a = -1$. Главное значение арктангенса от -1 равно $-\frac{\pi}{4}$.

Таким образом, общее решение уравнения имеет вид:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем несколько частных решений (значений аргумента), подставляя различные целые значения $k$.

• При k = 0:
  Подставляем $k=0$ в общую формулу: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = -\frac{\pi}{4}$.
  Ответ: $-\frac{\pi}{4}$
• При k = 1:
  Подставляем $k=1$: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{4\pi - \pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
  Ответ: $\frac{3\pi}{4}$
• При k = 2:
  Подставляем $k=2$: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot 2 = \frac{8\pi - \pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.
  Так как это неправильная дробь, выделим целую часть: $\frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$.
  Ответ: $\mathbf{1}\frac{3\pi}{4}$
• При k = -1:
  Подставляем $k=-1$: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot (-1) = -\frac{\pi}{4} - \pi = -\frac{5\pi}{4}$.
  Выделим целую часть: $-\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4}$.
  Ответ: $\mathbf{-1}\frac{\pi}{4}$
• При k = 3:
  Подставляем $k=3$: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi \cdot 3 = \frac{12\pi - \pi}{4} = \frac{11\pi}{4}$.
  Выделим целую часть: $\frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$.
  Ответ: $\mathbf{2}\frac{3\pi}{4}$

Таким образом, мы нашли несколько из бесконечного множества значений аргумента, для которых функция $y=\text{tg}\,x$ равна -1. Можно продолжать этот ряд, подставляя другие целые значения $k$.