Номер 1.255, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.255. Используя свойство периодичности функции $f(x) = \text{tg } x$, найдите:

а) $\text{tg } 405^{\circ}$,

б) $\text{tg } 240^{\circ}$,

в) $\text{tg } 720^{\circ}$,

г) $\text{tg } 1110^{\circ}$.

Для решения задачи воспользуемся свойством периодичности функции тангенса. Основной период функции $f(x) = \tg x$ равен $180^\circ$. Это означает, что значение тангенса не изменится, если к его аргументу прибавить или вычесть любое целое число периодов. Данное свойство выражается формулой: $\tg(\alpha + 180^\circ \cdot k) = \tg \alpha$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Чтобы найти значение тангенса для заданных углов, мы представим каждый угол в виде $\alpha = 180^\circ \cdot k + \beta$, где $\beta$ — это угол в пределах от $0^\circ$ до $180^\circ$.

а) Найдем значение $\tg 405^\circ$.
Представим угол $405^\circ$ в виде суммы, кратной $180^\circ$, и остатка. Разделив $405$ на $180$, получим $2$ с остатком:
$405^\circ = 2 \cdot 180^\circ + 45^\circ$.
Применяя свойство периодичности ($k=2$):
$\tg 405^\circ = \tg(2 \cdot 180^\circ + 45^\circ) = \tg 45^\circ = 1$.
Ответ: 1.

б) Найдем значение $\tg 240^\circ$.
Представим угол $240^\circ$ аналогичным образом:
$240^\circ = 1 \cdot 180^\circ + 60^\circ$.
Применяя свойство периодичности ($k=1$):
$\tg 240^\circ = \tg(1 \cdot 180^\circ + 60^\circ) = \tg 60^\circ = \sqrt{3}$.
Ответ: $\sqrt{3}$.

в) Найдем значение $\tg 720^\circ$.
Угол $720^\circ$ кратен $180^\circ$:
$720^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ + 0^\circ$.
Применяя свойство периодичности ($k=4$):
$\tg 720^\circ = \tg(4 \cdot 180^\circ + 0^\circ) = \tg 0^\circ = 0$.
Ответ: 0.

г) Найдем значение $\tg 1110^\circ$.
Разделим $1110$ на $180$ с остатком:
$1110 = 6 \cdot 180 + 30$, так как $6 \cdot 180 = 1080$.
Значит, $1110^\circ = 6 \cdot 180^\circ + 30^\circ$.
Применяя свойство периодичности ($k=6$):
$\tg 1110^\circ = \tg(6 \cdot 180^\circ + 30^\circ) = \tg 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.