Номер 1.258, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.258. Из чисел $-12\pi$; $-\frac{7\pi}{2}$; $-2\pi$; $-\frac{\pi}{2}$; $-\frac{\pi}{4}$; $0$; $\frac{9\pi}{2}$; $5\pi$ выберите нули функции $f(x) = \operatorname{tg} x$.

Чтобы найти нули функции $f(x) = \text{tg}\,x$, необходимо решить уравнение $f(x) = 0$, то есть $\text{tg}\,x = 0$.

По определению, тангенс угла — это отношение синуса этого угла к его косинусу: $\text{tg}\,x = \frac{\sin x}{\cos x}$.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Следовательно, мы ищем такие значения $x$, для которых одновременно выполняются два условия:

1. $\sin x = 0$
2. $\cos x \neq 0$

Решением тригонометрического уравнения $\sin x = 0$ является серия корней $x = \pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Проверим, выполняется ли для этих значений второе условие, $\cos x \neq 0$. При $x = \pi n$, значение $\cos(\pi n)$ равно $1$ (если $n$ — четное число) или $-1$ (если $n$ — нечетное число). В любом случае, $\cos(\pi n) \neq 0$, поэтому условие выполняется.

Таким образом, нулями функции $f(x) = \text{tg}\,x$ являются все числа вида $x = \pi n$, где $n$ — целое число.

Теперь необходимо проверить каждое из предложенных чисел и выбрать те, которые можно представить в указанном виде.

• $x = -12\pi$. Это число можно представить как $x = \pi \cdot (-12)$. Поскольку $n = -12$ является целым числом, $-12\pi$ — это нуль функции.
• $x = -\frac{7\pi}{2}$. Это число нельзя представить в виде $x = \pi n$ с целым $n$, так как $n = -\frac{7}{2} = -3.5$, что не является целым числом. Следовательно, это не нуль функции.
• $x = -2\pi$. Это число можно представить как $x = \pi \cdot (-2)$. Поскольку $n = -2$ является целым числом, $-2\pi$ — это нуль функции.
• $x = -\frac{\pi}{2}$. Это число нельзя представить в виде $x = \pi n$ с целым $n$, так как $n = -\frac{1}{2}$, что не является целым числом.
• $x = -\frac{\pi}{4}$. Это число нельзя представить в виде $x = \pi n$ с целым $n$, так как $n = -\frac{1}{4}$, что не является целым числом.
• $x = 0$. Это число можно представить как $x = \pi \cdot 0$. Поскольку $n = 0$ является целым числом, $0$ — это нуль функции.
• $x = \frac{9\pi}{2}$. Это число нельзя представить в виде $x = \pi n$ с целым $n$, так как $n = \frac{9}{2} = 4.5$, что не является целым числом.
• $x = 5\pi$. Это число можно представить как $x = \pi \cdot 5$. Поскольку $n = 5$ является целым числом, $5\pi$ — это нуль функции.

Выбранные нули функции из предложенного списка:

-12π Ответ: -12

-2π Ответ: -2

Ответ: 0

5π Ответ: 5