Номер 1.262, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.262. Используя свойства функции $y = \text{tg }x$, сравните числа:

$\text{tg}\frac{\pi}{7}$ и $\text{tg}\frac{3\pi}{7}$;

$\text{tg}\left(-\frac{5\pi}{6}\right)$ и $\text{tg}\left(-\frac{7\pi}{6}\right)$.

Для сравнения значений функции $y=\text{tg}\,x$ воспользуемся ее свойствами. Основное свойство, которое нам понадобится, — это монотонность функции. Функция тангенс является возрастающей на каждом из интервалов вида $(-\frac{\pi}{2} + \pi k, \frac{\pi}{2} + \pi k)$, где $k \in \mathbb{Z}$.

a) $\text{tg}\frac{\pi}{7}$ и $\text{tg}\frac{3\pi}{7}$

Сравним аргументы функции: $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{3\pi}{7}$.

Очевидно, что $\frac{\pi}{7} < \frac{3\pi}{7}$.

Оба угла, $\frac{\pi}{7}$ и $\frac{3\pi}{7}$, принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, так как $0 < \frac{\pi}{7} < \frac{\pi}{2}$ и $0 < \frac{3\pi}{7} < \frac{3.5\pi}{7} = \frac{\pi}{2}$.

На интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ функция $y=\text{tg}\,x$ строго возрастает. Это означает, что большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Поскольку $\frac{\pi}{7} < \frac{3\pi}{7}$, то и $\text{tg}\frac{\pi}{7} < \text{tg}\frac{3\pi}{7}$.

Ответ: $\text{tg}\frac{\pi}{7} < \text{tg}\frac{3\pi}{7}$.

б) $\text{tg}(-\frac{5\pi}{6})$ и $\text{tg}(-\frac{7\pi}{6})$

Для сравнения этих чисел воспользуемся свойством периодичности функции тангенса ($T=\pi$) и ее монотонностью.

1. Преобразуем аргумент $-\frac{5\pi}{6}$, используя периодичность $\text{tg}(x) = \text{tg}(x+\pi)$:

$\text{tg}(-\frac{5\pi}{6}) = \text{tg}(-\frac{5\pi}{6} + \pi) = \text{tg}(\frac{-5\pi+6\pi}{6}) = \text{tg}(\frac{\pi}{6})$.

2. Преобразуем аргумент $-\frac{7\pi}{6}$. Для этого выделим целую часть из неправильной дроби: $-\frac{7\pi}{6} = -\pi - \frac{\pi}{6}$.

Используя периодичность, получаем:

$\text{tg}(-\frac{7\pi}{6}) = \text{tg}(-\pi - \frac{\pi}{6}) = \text{tg}(-\frac{\pi}{6})$.

Теперь задача сводится к сравнению $\text{tg}(\frac{\pi}{6})$ и $\text{tg}(-\frac{\pi}{6})$.

Оба аргумента, $\frac{\pi}{6}$ и $-\frac{\pi}{6}$, принадлежат интервалу $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$, на котором функция $y=\text{tg}\,x$ строго возрастает.

Сравним аргументы: $\frac{\pi}{6} > -\frac{\pi}{6}$.

Так как функция на этом интервале возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Следовательно, $\text{tg}(\frac{\pi}{6}) > \text{tg}(-\frac{\pi}{6})$.

А значит, $\text{tg}(-\frac{5\pi}{6}) > \text{tg}(-\frac{7\pi}{6})$.

Ответ: $\text{tg}(-\frac{5\pi}{6}) > \text{tg}(-\frac{7\pi}{6})$.