Номер 1.256, страница 83 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.256. Используя свойство нечетности функции $f(x) = \operatorname{tg} x$, найдите:

а) $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{4}\right)$;

б) $\operatorname{tg}\left(-\frac{\pi}{6}\right)$;

в) $\operatorname{tg}(-\pi)$;

г) $\operatorname{tg}(-5\pi)$.

Для решения данной задачи необходимо использовать свойство нечетности функции $f(x) = \text{tg } x$. Нечетная функция — это функция, которая удовлетворяет условию $f(-x) = -f(x)$ для всех $x$ из области определения функции. Таким образом, для тангенса справедливо равенство: $\text{tg}(-x) = -\text{tg}(x)$.

а) Найдем значение $\text{tg}(-\frac{\pi}{4})$.
Используя свойство нечетности:
$\text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{4})$
Известно, что значение тангенса угла $\frac{\pi}{4}$ (45°) равно 1.
$\text{tg}(\frac{\pi}{4}) = 1$
Следовательно:
$\text{tg}(-\frac{\pi}{4}) = -1$
Ответ: -1.

б) Найдем значение $\text{tg}(-\frac{\pi}{6})$.
Используя свойство нечетности:
$\text{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\text{tg}(\frac{\pi}{6})$
Известно, что значение тангенса угла $\frac{\pi}{6}$ (30°) равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
$\text{tg}(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$
Следовательно:
$\text{tg}(-\frac{\pi}{6}) = -\frac{\sqrt{3}}{3}$
Ответ: $-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

в) Найдем значение $\text{tg}(-\pi)$.
Используя свойство нечетности:
$\text{tg}(-\pi) = -\text{tg}(\pi)$
Так как тангенс является периодической функцией с периодом $\pi$, то $\text{tg}(\pi) = \text{tg}(0 + \pi) = \text{tg}(0)$.
Значение тангенса угла $0$ равно 0.
$\text{tg}(\pi) = \frac{\sin(\pi)}{\cos(\pi)} = \frac{0}{-1} = 0$
Следовательно:
$\text{tg}(-\pi) = -0 = 0$
Ответ: 0.

г) Найдем значение $\text{tg}(-5\pi)$.
Используя свойство нечетности:
$\text{tg}(-5\pi) = -\text{tg}(5\pi)$
Так как тангенс является периодической функцией с периодом $\pi$, то $\text{tg}(5\pi) = \text{tg}(0 + 5\pi) = \text{tg}(0)$.
Значение тангенса угла $0$ равно 0.
$\text{tg}(0) = \frac{\sin(0)}{\cos(0)} = \frac{0}{1} = 0$
Следовательно:
$\text{tg}(-5\pi) = -\text{tg}(5\pi) = -0 = 0$
Ответ: 0.