Номер 1.253, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.253. Найдите область определения и множество значений функции:

a) $y = \operatorname{tg} 3x;$

б) $y = \operatorname{tg} \frac{x}{4}.$

a) $y = \tg 3x;$

1. Область определения (D(y))
Функция тангенс $y = \tg(z)$ определена для всех значений своего аргумента $z$, кроме тех, при которых косинус в знаменателе ($ \tg z = \frac{\sin z}{\cos z} $) обращается в ноль. Это происходит в точках $z = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).
Для функции $y = \tg 3x$ аргументом является $3x$. Следовательно, для нахождения области определения нужно решить неравенство: $$3x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Разделим обе части на 3, чтобы выразить $x$: $$x \neq \frac{1}{3} \left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right)$$ $$x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Таким образом, область определения функции — это все действительные числа, за исключением точек вида $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}$.

2. Множество значений (E(y))
Стандартная функция тангенса $y = \tg(z)$ может принимать абсолютно любое действительное значение. Её множество значений (или область значений) — это интервал $(-\infty; +\infty)$.
Умножение аргумента $x$ на коэффициент 3 приводит к горизонтальному сжатию графика функции, но не влияет на её вертикальный диапазон. Функция по-прежнему будет принимать все значения от $-\infty$ до $+\infty$.

Ответ: Область определения $D(y): x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$; множество значений $E(y): (-\infty; +\infty)$.

б) $y = \tg \frac{x}{4}.$

1. Область определения (D(y))
Аналогично предыдущему случаю, аргумент функции тангенса не должен быть равен $\frac{\pi}{2} + \pi k$ для любого целого $k$.
В данной функции аргумент $z = \frac{x}{4}$. Запишем соответствующее условие: $$\frac{x}{4} \neq \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Чтобы найти значения $x$, которые исключаются из области определения, умножим обе части неравенства на 4: $$x \neq 4 \left( \frac{\pi}{2} + \pi k \right)$$ $$x \neq 2\pi + 4\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$ Следовательно, область определения функции — это все действительные числа, кроме точек вида $2\pi + 4\pi k$.

2. Множество значений (E(y))
Преобразование аргумента (в данном случае, деление на 4, что соответствует горизонтальному растяжению графика) не изменяет множество значений функции тангенса. Как и для стандартной функции $y = \tg x$, значения функции $y = \tg \frac{x}{4}$ охватывают всю числовую ось.

Ответ: Область определения $D(y): x \neq 2\pi + 4\pi k, k \in \mathbb{Z}$; множество значений $E(y): (-\infty; +\infty)$.