Номер 1.247, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.247. Из чисел $-\frac{13\pi}{2}; -6\pi; -\frac{5\pi}{2}; -\pi; -\frac{\pi}{3}; 0; 2\pi; \frac{7\pi}{2}$ выберите нули функции:

а) $y = \sin x;$

б) $y = \cos x;$

Нули функции – это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Чтобы найти нули для каждой функции, нужно подставить данные числа вместо $x$ и проверить, будет ли результат равен 0.

Данные числа для проверки: $-\frac{13\pi}{2}; -6\pi; -\frac{5\pi}{2}; -\pi; -\frac{\pi}{3}; 0; 2\pi; \frac{7\pi}{2}$.

Нули функции синуса ($ \sin x = 0 $) находятся в точках, где аргумент $x$ является целым кратным числа $\pi$. Общая формула для нулей синуса: $x = n\pi$, где $n$ – любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Проверим, какие из предложенных чисел удовлетворяют этому условию:

• $x = -6\pi$: является нулём, так как $n = -6$ (целое число).
• $x = -\pi$: является нулём, так как $n = -1$ (целое число).
• $x = 0$: является нулём, так как $n = 0$ (целое число).
• $x = 2\pi$: является нулём, так как $n = 2$ (целое число).

Остальные числа из списка не являются целыми кратными $\pi$, поэтому они не являются нулями функции $y=\sin x$.
Например, $\sin(-\frac{13\pi}{2}) = \sin(-6\pi - \frac{\pi}{2}) = \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 \neq 0$.

Нули функции косинуса ($ \cos x = 0 $) находятся в точках, где аргумент $x$ является нечетным кратным числа $\frac{\pi}{2}$. Общая формула для нулей косинуса: $x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ – любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$).

Проверим, какие из предложенных чисел удовлетворяют этому условию:

• $x = -\frac{13\pi}{2}$: Проверим, существует ли целое $n$, для которого $-\frac{13\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi$. Делим на $\pi$: $-\frac{13}{2} = \frac{1}{2} + n \implies n = -\frac{13}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{14}{2} = -7$. Так как $n=-7$ – целое число, это нуль функции.
• $x = -\frac{5\pi}{2}$: Проверим: $-\frac{5\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies n = -\frac{5}{2} - \frac{1}{2} = -\frac{6}{2} = -3$. Так как $n=-3$ – целое число, это нуль функции.
• $x = \frac{7\pi}{2}$: Проверим: $\frac{7\pi}{2} = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies n = \frac{7}{2} - \frac{1}{2} = \frac{6}{2} = 3$. Так как $n=3$ – целое число, это нуль функции.

Остальные числа из списка не удовлетворяют этому условию.
Например, $\cos(-6\pi) = 1 \neq 0$.

Для записи ответа выделим целую часть из найденных неправильных дробей:

• $-\frac{13\pi}{2} = -6\frac{1}{2}\pi$
• $-\frac{5\pi}{2} = -2\frac{1}{2}\pi$
• $\frac{7\pi}{2} = 3\frac{1}{2}\pi$