Номер 1.240, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

а) $y = 6\sin x$

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Так как $-1 \le \sin x \le 1$, умножим все части этого двойного неравенства на положительное число 6. Знак неравенства при этом не изменится:

$6 \cdot (-1) \le 6 \sin x \le 6 \cdot 1$

$-6 \le y \le 6$

Таким образом, наибольшее значение функции ($y_{наиб}$) равно 6, а наименьшее ($y_{наим}$) равно -6.

2. Нахождение значений аргумента.

• Наибольшее значение $y=6$ достигается, когда $6 \sin x = 6$, то есть $\sin x = 1$.
  Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Наименьшее значение $y=-6$ достигается, когда $6 \sin x = -6$, то есть $\sin x = -1$.
  Это происходит при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 6$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение $y_{наим} = -6$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $y = -4\sin x$

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Так как $-1 \le \sin x \le 1$, умножим все части этого двойного неравенства на отрицательное число -4. Знаки неравенства при этом изменятся на противоположные:

$(-4) \cdot (-1) \ge -4 \sin x \ge (-4) \cdot 1$

$4 \ge y \ge -4$

Запишем в стандартном виде: $-4 \le y \le 4$.

Таким образом, наибольшее значение функции ($y_{наиб}$) равно 4, а наименьшее ($y_{наим}$) равно -4.

2. Нахождение значений аргумента.

• Наибольшее значение $y=4$ достигается, когда $-4 \sin x = 4$, то есть $\sin x = -1$.
  Это происходит при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Наименьшее значение $y=-4$ достигается, когда $-4 \sin x = -4$, то есть $\sin x = 1$.
  Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 4$ при $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение $y_{наим} = -4$ при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $y = 8,7\cos x$

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Так как $-1 \le \cos x \le 1$, умножим все части этого двойного неравенства на положительное число 8,7:

$8,7 \cdot (-1) \le 8,7 \cos x \le 8,7 \cdot 1$

$-8,7 \le y \le 8,7$

Таким образом, наибольшее значение функции ($y_{наиб}$) равно 8,7, а наименьшее ($y_{наим}$) равно -8,7.

2. Нахождение значений аргумента.

• Наибольшее значение $y=8,7$ достигается, когда $8,7 \cos x = 8,7$, то есть $\cos x = 1$.
  Это происходит при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Наименьшее значение $y=-8,7$ достигается, когда $8,7 \cos x = -8,7$, то есть $\cos x = -1$.
  Это происходит при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 8,7$ при $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение $y_{наим} = -8,7$ при $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $y = -\frac{1}{5}\cos x$

1. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции.

Так как $-1 \le \cos x \le 1$, умножим все части этого двойного неравенства на отрицательное число $-\frac{1}{5}$. Знаки неравенства при этом изменятся на противоположные:

$(-\frac{1}{5}) \cdot (-1) \ge -\frac{1}{5} \cos x \ge (-\frac{1}{5}) \cdot 1$

$\frac{1}{5} \ge y \ge -\frac{1}{5}$

Запишем в стандартном виде: $-\frac{1}{5} \le y \le \frac{1}{5}$.

Таким образом, наибольшее значение функции ($y_{наиб}$) равно $\frac{1}{5}$, а наименьшее ($y_{наим}$) равно $-\frac{1}{5}$.

2. Нахождение значений аргумента.

• Наибольшее значение $y=\frac{1}{5}$ достигается, когда $-\frac{1}{5} \cos x = \frac{1}{5}$, то есть $\cos x = -1$.
  Это происходит при $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
• Наименьшее значение $y=-\frac{1}{5}$ достигается, когда $-\frac{1}{5} \cos x = -\frac{1}{5}$, то есть $\cos x = 1$.
  Это происходит при $x = 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = \frac{1}{5}$ при $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение $y_{наим} = -\frac{1}{5}$ при $x = 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.