Номер 1.237, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.237. Расположите в порядке возрастания числа $ \cos 20^{\circ} $, $ \cos 57^{\circ} $ и $ \cos 32^{\circ} $.

Чтобы расположить данные числа в порядке возрастания, необходимо проанализировать свойства тригонометрической функции косинус.

Все три угла, $20^\circ$, $57^\circ$ и $32^\circ$, находятся в первой координатной четверти, так как их значения лежат в интервале от $0^\circ$ до $90^\circ$.

На промежутке $[0^\circ; 90^\circ]$ функция $y = \cos(x)$ является монотонно убывающей. Это означает, что для двух любых углов $\alpha_1$ и $\alpha_2$ из этого промежутка, если $\alpha_1 < \alpha_2$, то $\cos(\alpha_1) > \cos(\alpha_2)$. Проще говоря, большему значению угла соответствует меньшее значение косинуса.

Сначала сравним величины углов и расположим их в порядке возрастания:

$20^\circ < 32^\circ < 57^\circ$

Так как функция косинуса на этом промежутке убывает, то для значений косинусов этих углов будет выполняться обратное неравенство (знаки неравенства меняются на противоположные):

$\cos(20^\circ) > \cos(32^\circ) > \cos(57^\circ)$

Данное неравенство показывает, что $\cos(57^\circ)$ является наименьшим значением, а $\cos(20^\circ)$ — наибольшим.

Следовательно, в порядке возрастания (от меньшего к большему) числа располагаются следующим образом:

$\cos 57^\circ, \cos 32^\circ, \cos 20^\circ$

Ответ: $\cos 57^\circ, \cos 32^\circ, \cos 20^\circ$.