Номер 1.232, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.232. Из чисел $-\frac{11\pi}{2}$; $-4\pi$; $-\frac{3\pi}{2}$; $-\pi$; $-\frac{\pi}{3}$; $0$; $3\pi$; $\frac{9\pi}{2}$ выберите:

a) нули функции $f(x) = \cos x$;

б) значения аргумента, при которых функция $f(x) = \cos x$ принимает наибольшее значение.

Для решения данной задачи необходимо проверить каждое число из предложенного списка $ \{-\frac{11\pi}{2}; -4\pi; -\frac{3\pi}{2}; -\pi; -\frac{\pi}{3}; 0; 3\pi; \frac{9\pi}{2}\} $ на соответствие заданным условиям для функции $f(x) = \cos x$.

а) нули функции $f(x) = \cos x$

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых функция обращается в ноль, то есть $f(x) = 0$. Для функции $f(x) = \cos x$ необходимо найти такие значения $x$ из списка, при которых $\cos x = 0$.

Общее решение уравнения $\cos x = 0$ имеет вид $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$). Это означает, что косинус равен нулю в точках, являющихся нечетными кратными $\frac{\pi}{2}$.

Проверим каждое число из списка:

• $x = -\frac{11\pi}{2}$: $\cos\left(-\frac{11\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{11\pi}{2}\right) = \cos\left(6\pi - \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$. Число является нулем функции.
• $x = -4\pi$: $\cos(-4\pi) = \cos(4\pi) = 1$.
• $x = -\frac{3\pi}{2}$: $\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2}\right) = 0$. Число является нулем функции.
• $x = -\pi$: $\cos(-\pi) = -1$.
• $x = -\frac{\pi}{3}$: $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.
• $x = 0$: $\cos(0) = 1$.
• $x = 3\pi$: $\cos(3\pi) = -1$.
• $x = \frac{9\pi}{2}$: $\cos\left(\frac{9\pi}{2}\right) = \cos\left(4\pi + \frac{\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$. Число является нулем функции.

а) нули функции $f(x) = \cos x$ Ответ: $\mathbf{-5}\frac{1}{2}\pi; \mathbf{-1}\frac{1}{2}\pi; \mathbf{4}\frac{1}{2}\pi$.

б) значения аргумента, при которых функция $f(x) = \cos x$ принимает наибольшее значение

Наибольшее значение функции $f(x) = \cos x$ равно 1. Необходимо найти такие значения $x$ из списка, при которых $\cos x = 1$.

Общее решение уравнения $\cos x = 1$ имеет вид $x = 2\pi n$, где $n$ — любое целое число ($n \in \mathbb{Z}$). Это означает, что косинус равен единице в точках, являющихся четными кратными $\pi$.

Проверим каждое число из списка:

• $x = -\frac{11\pi}{2}$: $\cos\left(-\frac{11\pi}{2}\right) = 0$.
• $x = -4\pi$: $\cos(-4\pi) = \cos(2\pi \cdot (-2)) = 1$. Значение подходит.
• $x = -\frac{3\pi}{2}$: $\cos\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = 0$.
• $x = -\pi$: $\cos(-\pi) = -1$.
• $x = -\frac{\pi}{3}$: $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.
• $x = 0$: $\cos(0) = 1$. Значение подходит.
• $x = 3\pi$: $\cos(3\pi) = -1$.
• $x = \frac{9\pi}{2}$: $\cos\left(\frac{9\pi}{2}\right) = 0$.

б) значения аргумента, при которых функция $f(x) = \cos x$ принимает наибольшее значение Ответ: $-4\pi; 0$.