Номер 1.230, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.230. Исследуйте функцию на четность (нечетность):

а) $f(x) = \cos 6x$;

б) $g(x) = x \cdot \cos 7x$;

в) $h(x) = 3x^2 + \cos x$;

г) $p(x) = \cos \frac{x}{6} + 4x$.

Для исследования функции на четность (нечетность), необходимо найти значение функции от аргумента $-x$ и сравнить его с исходным значением функции $f(x)$. Область определения функции должна быть симметрична относительно нуля.

• Если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = f(x)$, то функция четная.
• Если для любого $x$ из области определения выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$, то функция нечетная.
• Если не выполняется ни одно из этих условий, то функция является ни четной, ни нечетной (функцией общего вида).

Все представленные функции имеют область определения $D(f) = (-\infty; +\infty)$, которая является симметричной относительно нуля.

а) Дана функция $f(x) = \cos 6x$.

Найдем $f(-x)$:

$f(-x) = \cos(6(-x)) = \cos(-6x)$

Используем свойство четности функции косинус: $\cos(-\alpha) = \cos(\alpha)$.

$f(-x) = \cos(6x)$

Так как $f(-x) = f(x)$, функция является четной.

Ответ: функция четная.

б) Дана функция $g(x) = x \cdot \cos 7x$.

Найдем $g(-x)$:

$g(-x) = (-x) \cdot \cos(7(-x)) = -x \cdot \cos(-7x)$

Поскольку $\cos(-7x) = \cos(7x)$, получаем:

$g(-x) = -x \cdot \cos(7x) = -(x \cdot \cos 7x)$

Так как $g(-x) = -g(x)$, функция является нечетной.

Ответ: функция нечетная.

в) Дана функция $h(x) = 3x^2 + \cos x$.

Найдем $h(-x)$:

$h(-x) = 3(-x)^2 + \cos(-x)$

Так как $(-x)^2 = x^2$ и $\cos(-x) = \cos x$, то:

$h(-x) = 3x^2 + \cos x$

Так как $h(-x) = h(x)$, функция является четной. (Это также следует из того, что функция является суммой двух четных функций: $3x^2$ и $\cos x$).

Ответ: функция четная.

г) Дана функция $p(x) = \cos\frac{x}{6} + 4x$.

Найдем $p(-x)$:

$p(-x) = \cos(\frac{-x}{6}) + 4(-x) = \cos(-\frac{x}{6}) - 4x$

Используя свойство четности косинуса, $\cos(-\frac{x}{6}) = \cos(\frac{x}{6})$, получаем:

$p(-x) = \cos\frac{x}{6} - 4x$

Сравним полученное выражение с $p(x)$ и $-p(x)$:

• $p(-x) = \cos\frac{x}{6} - 4x \ne p(x)$ (равенство не выполняется, если $x \ne 0$).
• $p(-x) = \cos\frac{x}{6} - 4x \ne -p(x) = -(\cos\frac{x}{6} + 4x) = -\cos\frac{x}{6} - 4x$ (равенство не выполняется, если $\cos\frac{x}{6} \ne 0$).

Поскольку не выполняется ни условие четности, ни условие нечетности, функция не является ни четной, ни нечетной. (Это также следует из того, что функция является суммой четной функции $\cos\frac{x}{6}$ и нечетной функции $4x$).

Ответ: функция не является ни четной, ни нечетной.