Номер 1.223, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.223. Найдите несколько значений аргумента, при которых функция

$y = \cos x$ принимает значение, равное:

а) $\frac{\sqrt{2}}{2}$;

б) $-1$.

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция $y = \cos x$ принимает значение, равное $\frac{\sqrt{2}}{2}$, необходимо решить уравнение: $$\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Общее решение этого тригонометрического уравнения находится по формуле: $$x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Поскольку значение арккосинуса $\arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ равно $\frac{\pi}{4}$, общее решение имеет вид: $$x = \pm \frac{\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Для получения нескольких конкретных значений аргумента подставим различные целые значения $n$:

• При $n=0$: $x = \pm \frac{\pi}{4}$. Мы получаем два значения: $x_1 = \frac{\pi}{4}$ и $x_2 = -\frac{\pi}{4}$.
• При $n=1$: $x = \frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{\pi + 8\pi}{4} = \frac{9\pi}{4}$ и $x = -\frac{\pi}{4} + 2\pi = \frac{-\pi + 8\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$.
• При $n=-1$: $x = \frac{\pi}{4} - 2\pi = \frac{\pi - 8\pi}{4} = -\frac{7\pi}{4}$.

Для ответа выберем несколько найденных значений. Неправильные дроби $\frac{7\pi}{4}$ и $\frac{9\pi}{4}$ представим в виде смешанных чисел: $\frac{7\pi}{4} = 1\frac{3}{4}\pi$ и $\frac{9\pi}{4} = 2\frac{1}{4}\pi$.
Ответ: например, $x = \frac{\pi}{4}$, $x = -\frac{\pi}{4}$, $x = \mathbf{1}\frac{3}{4}\pi$, $x = \mathbf{2}\frac{1}{4}\pi$.

Чтобы найти значения аргумента $x$, при которых функция $y = \cos x$ принимает значение, равное $-1$, необходимо решить уравнение: $$\cos x = -1$$ Это частный случай тригонометрического уравнения. Его общее решение имеет вид: $$x = \pi + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$ Для получения нескольких конкретных значений аргумента подставим различные целые значения $n$:

• При $n=0$: $x = \pi$.
• При $n=1$: $x = \pi + 2\pi = 3\pi$.
• При $n=-1$: $x = \pi - 2\pi = -\pi$.
• При $n=2$: $x = \pi + 4\pi = 5\pi$.

Для ответа выберем несколько из найденных значений.
Ответ: например, $x = \pi$, $x = 3\pi$, $x = -\pi$.