Номер 1.224, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.224. Найдите множество значений функции:

a) $y = \cos x - 5;$

б) $y = \frac{1}{2}\cos x + 3;$

в) $y = 4\cos x - 3,2;$

г) $y = 4 - 5\cos x.$

а) Для того чтобы найти множество значений функции $y = \cos x - 5$, воспользуемся известным свойством функции косинус. Множество значений функции $f(x) = \cos x$ есть отрезок $[-1; 1]$. Это можно записать в виде двойного неравенства:
$-1 \le \cos x \le 1$.
Теперь преобразуем это неравенство, чтобы получить выражение для $y$. Для этого вычтем 5 из каждой части неравенства:
$-1 - 5 \le \cos x - 5 \le 1 - 5$
$-6 \le y \le -4$.
Таким образом, множество значений данной функции — это отрезок от -6 до -4.
Ответ: $[-6; -4]$

б) Найдем множество значений функции $y = \frac{1}{2}\cos x + 3$.
Исходное неравенство для функции косинус:
$-1 \le \cos x \le 1$.
Сначала умножим все части неравенства на коэффициент $\frac{1}{2}$:
$-1 \cdot \frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\cos x \le 1 \cdot \frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2} \le \frac{1}{2}\cos x \le \frac{1}{2}$.
Теперь прибавим 3 к каждой части неравенства:
$-\frac{1}{2} + 3 \le \frac{1}{2}\cos x + 3 \le \frac{1}{2} + 3$
$\frac{5}{2} \le y \le \frac{7}{2}$.
Так как в границах отрезка получились неправильные дроби, выделим из них целую часть:
$2\frac{1}{2} \le y \le 3\frac{1}{2}$.
Следовательно, множество значений функции — это отрезок $[2\frac{1}{2}; 3\frac{1}{2}]$.
Ответ: $[2\frac{1}{2}; 3\frac{1}{2}]$

в) Найдем множество значений функции $y = 4\cos x - 3,2$.
Используем неравенство для косинуса:
$-1 \le \cos x \le 1$.
Умножим все части неравенства на 4:
$-4 \le 4\cos x \le 4$.
Теперь вычтем 3,2 из каждой части:
$-4 - 3,2 \le 4\cos x - 3,2 \le 4 - 3,2$
$-7,2 \le y \le 0,8$.
Представим десятичные дроби в виде обыкновенных и выделим целую часть, где это необходимо:
$-7,2 = -7\frac{2}{10} = -7\frac{1}{5}$
$0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
Множество значений функции есть отрезок $[-7\frac{1}{5}; \frac{4}{5}]$.
Ответ: $[-7\frac{1}{5}; \frac{4}{5}]$

г) Найдем множество значений функции $y = 4 - 5\cos x$.
Начнем с области значений косинуса:
$-1 \le \cos x \le 1$.
Умножим неравенство на -5. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:
$(-1) \cdot (-5) \ge (-5)\cos x \ge 1 \cdot (-5)$
$5 \ge -5\cos x \ge -5$.
Запишем это неравенство в более привычном виде, от меньшего числа к большему:
$-5 \le -5\cos x \le 5$.
Теперь прибавим 4 к каждой части, чтобы получить выражение для $y = 4 - 5\cos x$:
$4 - 5 \le 4 - 5\cos x \le 4 + 5$
$-1 \le y \le 9$.
Таким образом, множество значений функции — это отрезок от -1 до 9.
Ответ: $[-1; 9]$