Номер 1.222, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.222. С помощью графика функции $y = \cos x$ определите, верно ли, что:

а) при значении аргумента, равном 0, значение функции равно 1;

б) числа $-\frac{3\pi}{2}$, $\frac{\pi}{2}$ являются нулями функции;

в) $\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$.

Для определения верности утверждений воспользуемся свойствами и графиком функции $y = \cos x$. График этой функции (косинусоида) представляет собой периодическую кривую.

а) при значении аргумента, равном 0, значение функции равно 1;
Данное утверждение означает, что при $x=0$, значение $y$ должно быть равно 1. Проверим, верно ли равенство $\cos(0) = 1$.
Если посмотреть на график функции $y = \cos x$, то можно увидеть, что он проходит через точку $(0, 1)$. В этой точке функция достигает своего максимального значения. Таким образом, утверждение верно.
Ответ: Верно.

б) числа $-\frac{3\pi}{2}$; $\frac{\pi}{2}$ являются нулями функции;
Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Нам необходимо проверить, верно ли, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ и $\cos(-\frac{3\pi}{2}) = 0$.
Нули функции косинуса находятся в точках, где график пересекает ось Ox. Это происходит при $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k$ — любое целое число.

• При $k=0$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2}$. Следовательно, $\cos(\frac{\pi}{2})=0$.
• При $k=-2$, $x = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot (-2) = \frac{\pi}{2} - 2\pi = \frac{\pi - 4\pi}{2} = -\frac{3\pi}{2}$. Следовательно, $\cos(-\frac{3\pi}{2})=0$.

Оба числа являются нулями функции $y = \cos x$, поэтому утверждение верно.
Ответ: Верно.

в) $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
Для проверки этого утверждения воспользуемся свойством четности функции косинус: $\cos(-x) = \cos(x)$.
Следовательно, $\cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3})$.
Из таблицы значений тригонометрических функций известно, что $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$.
На графике функции $y = \cos x$ точке с абсциссой $x = \frac{\pi}{3}$ (примерно $1,05$) соответствует ордината $y=0,5$. Так как график симметричен относительно оси Oy, то и в точке $x = -\frac{\pi}{3}$ значение функции будет тем же. Утверждение верно.
Ответ: Верно.