Номер 1.226, страница 73 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.226. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y = 5\cos 3x;$

б) $y = 3\cos \left(x - \frac{\pi}{3}\right);$

в) $y = -2\sin 5x - 1.$

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции используется свойство ограниченности тригонометрических функций синуса и косинуса. Их значения всегда находятся в пределах от -1 до 1 включительно, независимо от их аргумента.

То есть, для любого угла $\alpha$ справедливо:

$-1 \le \cos(\alpha) \le 1$

$-1 \le \sin(\alpha) \le 1$

а) $y = 5\cos(3x)$

1. Область значений функции косинуса - это отрезок $[-1, 1]$. Таким образом, для любого значения $x$ справедливо неравенство:

$-1 \le \cos(3x) \le 1$

2. Чтобы найти область значений функции $y = 5\cos(3x)$, умножим все части двойного неравенства на 5:

$5 \cdot (-1) \le 5\cos(3x) \le 5 \cdot 1$

$-5 \le 5\cos(3x) \le 5$

3. Следовательно, область значений функции $y$ - это отрезок $[-5, 5]$. Наибольшее значение достигается, когда $\cos(3x)=1$, а наименьшее - когда $\cos(3x)=-1$.

Ответ: Наибольшее значение: 5, наименьшее значение: -5.

б) $y = 3\cos(x - \frac{\pi}{3})$

1. Аргумент $(x - \frac{\pi}{3})$ не влияет на область значений функции косинуса, поэтому:

$-1 \le \cos(x - \frac{\pi}{3}) \le 1$

2. Умножим все части неравенства на 3:

$3 \cdot (-1) \le 3\cos(x - \frac{\pi}{3}) \le 3 \cdot 1$

$-3 \le 3\cos(x - \frac{\pi}{3}) \le 3$

3. Область значений функции $y$ - это отрезок $[-3, 3]$.

Ответ: Наибольшее значение: 3, наименьшее значение: -3.

в) $y = -2\sin(5x) - 1$

1. Область значений функции синуса - это отрезок $[-1, 1]$:

$-1 \le \sin(5x) \le 1$

2. Сначала умножим все части неравенства на -2. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$(-2) \cdot (-1) \ge -2\sin(5x) \ge (-2) \cdot 1$

$2 \ge -2\sin(5x) \ge -2$

3. Перепишем неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$-2 \le -2\sin(5x) \le 2$

4. Теперь вычтем 1 из всех частей неравенства, чтобы учесть сдвиг по оси ординат:

$-2 - 1 \le -2\sin(5x) - 1 \le 2 - 1$

$-3 \le -2\sin(5x) - 1 \le 1$

5. Таким образом, область значений функции $y$ - это отрезок $[-3, 1]$. Наибольшее значение достигается, когда $\sin(5x)=-1$, а наименьшее - когда $\sin(5x)=1$.

Ответ: Наибольшее значение: 1, наименьшее значение: -3.