Номер 1.231, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.231. Используя свойства функции $f(x) = \cos x$, найдите:

а) $f(-47\pi)$;

б) $f(-\frac{37\pi}{6})$;

в) $f(-\frac{9\pi}{4})$.

Для нахождения значений функции $f(x) = \cos x$ воспользуемся её основными свойствами: четностью и периодичностью.

• Свойство четности: $\cos(-x) = \cos x$ для любого $x$.
• Свойство периодичности: $\cos(x + 2\pi k) = \cos x$ для любого целого $k$. Основной период функции равен $2\pi$.

Сначала применяем свойство четности:
$f(-47\pi) = \cos(-47\pi) = \cos(47\pi)$.

Затем используем свойство периодичности. Представим аргумент $47\pi$ в виде $x + 2\pi k$ (где $k$ - целое число), чтобы выделить и отбросить полные периоды:
$47\pi = 46\pi + \pi = 23 \cdot 2\pi + \pi$.

Отбросив $23$ полных периода, получаем:
$\cos(47\pi) = \cos(23 \cdot 2\pi + \pi) = \cos(\pi) = -1$.

Ответ: -1.

Применяем свойство четности:
$f(-\frac{37\pi}{6}) = \cos(-\frac{37\pi}{6}) = \cos(\frac{37\pi}{6})$.

Далее используем свойство периодичности. Для этого выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{37}{6}$:
$\frac{37}{6} = \mathbf{6}\frac{1}{6}$.
Теперь аргумент можно представить в виде, удобном для выделения периодов:
$\frac{37\pi}{6} = (\mathbf{6} + \frac{1}{6})\pi = 6\pi + \frac{\pi}{6} = 3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{6}$.

Отбросив $3$ полных периода ($3 \cdot 2\pi$), находим значение функции:
$\cos(\frac{37\pi}{6}) = \cos(3 \cdot 2\pi + \frac{\pi}{6}) = \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Применяем свойство четности:
$f(-\frac{9\pi}{4}) = \cos(-\frac{9\pi}{4}) = \cos(\frac{9\pi}{4})$.

Далее используем свойство периодичности. Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{9}{4}$:
$\frac{9}{4} = \mathbf{2}\frac{1}{4}$.
Таким образом, аргумент можно представить в виде:
$\frac{9\pi}{4} = (\mathbf{2} + \frac{1}{4})\pi = 2\pi + \frac{\pi}{4}$.

Отбросив один полный период ($2\pi$), находим значение функции:
$\cos(\frac{9\pi}{4}) = \cos(2\pi + \frac{\pi}{4}) = \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$.