Номер 1.238, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.238. Постройте график функции:

а) $y = \cos\left(x - \frac{\pi}{3}\right);$

б) $y = \cos\left(x + \frac{5\pi}{6}\right);$

в) $y = \cos x - 2;$

г) $y = \cos x + 1;$

д) $y = \cos\left(x - \frac{2\pi}{3}\right) - 3.$

Для построения графиков данных функций мы будем использовать метод преобразования графика базовой функции $y = \cos x$. График функции $y = \cos x$ — это косинусоида с периодом $2\pi$, проходящая через ключевые точки $(0, 1)$, $(\frac{\pi}{2}, 0)$, $(\pi, -1)$, $(\frac{3\pi}{2}, 0)$, $(2\pi, 1)$. Область значений функции $y = \cos x$ — отрезок $[-1, 1]$.

а) $y = \cos(x - \frac{\pi}{3})$

График этой функции получается из графика $y = \cos x$ путем его сдвига (параллельного переноса) вдоль оси абсцисс (оси Ox). Так как аргумент имеет вид $(x - C)$ с $C = \frac{\pi}{3} > 0$, сдвиг выполняется вправо на $\frac{\pi}{3}$ единиц.

Период функции и область значений остаются такими же, как у $y = \cos x$.

Сместим ключевые точки графика $y = \cos x$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо:

• Максимум $(0, 1)$ переходит в точку $(0 + \frac{\pi}{3}, 1) = (\frac{\pi}{3}, 1)$.
• Нуль функции $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{5\pi}{6}, 0)$.
• Минимум $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\pi + \frac{\pi}{3}, -1) = (\frac{4\pi}{3}, -1) = (1\frac{1}{3}\pi, -1)$.
• Нуль функции $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{3\pi}{2} + \frac{\pi}{3}, 0) = (\frac{11\pi}{6}, 0) = (1\frac{5}{6}\pi, 0)$.
• Максимум $(2\pi, 1)$ переходит в точку $(2\pi + \frac{\pi}{3}, 1) = (\frac{7\pi}{3}, 1) = (2\frac{1}{3}\pi, 1)$.

Соединив эти точки плавной кривой, получим график искомой функции.

Ответ: График функции $y = \cos(x - \frac{\pi}{3})$ получается сдвигом графика $y = \cos x$ на $\frac{\pi}{3}$ вправо вдоль оси Ox.

б) $y = \cos(x + \frac{5\pi}{6})$

График этой функции получается из графика $y = \cos x$ путем сдвига вдоль оси Ox. Функцию можно записать в виде $y = \cos(x - (-\frac{5\pi}{6}))$. Так как $C = -\frac{5\pi}{6} < 0$, сдвиг выполняется влево на $\frac{5\pi}{6}$ единиц.

Период функции и область значений остаются без изменений.

Сместим ключевые точки графика $y = \cos x$ на $\frac{5\pi}{6}$ влево:

• Максимум $(0, 1)$ переходит в точку $(0 - \frac{5\pi}{6}, 1) = (-\frac{5\pi}{6}, 1)$.
• Нуль функции $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2} - \frac{5\pi}{6}, 0) = (\frac{3\pi - 5\pi}{6}, 0) = (-\frac{2\pi}{6}, 0) = (-\frac{\pi}{3}, 0)$.
• Минимум $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\pi - \frac{5\pi}{6}, -1) = (\frac{\pi}{6}, -1)$.
• Нуль функции $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{3\pi}{2} - \frac{5\pi}{6}, 0) = (\frac{9\pi - 5\pi}{6}, 0) = (\frac{4\pi}{6}, 0) = (\frac{2\pi}{3}, 0)$.
• Максимум $(2\pi, 1)$ переходит в точку $(2\pi - \frac{5\pi}{6}, 1) = (\frac{12\pi - 5\pi}{6}, 1) = (\frac{7\pi}{6}, 1) = (1\frac{1}{6}\pi, 1)$.

Ответ: График функции $y = \cos(x + \frac{5\pi}{6})$ получается сдвигом графика $y = \cos x$ на $\frac{5\pi}{6}$ влево вдоль оси Ox.

в) $y = \cos x - 2$

График этой функции получается из графика $y = \cos x$ путем сдвига вдоль оси ординат (оси Oy). Так как к функции прибавляется отрицательное число (-2), сдвиг выполняется вниз на 2 единицы.

Период функции остается $2\pi$. Область значений смещается на 2 вниз: $[-1-2, 1-2]$, то есть $[-3, -1]$.

Сместим ключевые точки графика $y = \cos x$ на 2 единицы вниз:

• Максимум $(0, 1)$ переходит в точку $(0, 1 - 2) = (0, -1)$.
• Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}, 0 - 2) = (\frac{\pi}{2}, -2)$.
• Минимум $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\pi, -1 - 2) = (\pi, -3)$.
• Точка $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{3\pi}{2}, 0 - 2) = (\frac{3\pi}{2}, -2)$.
• Максимум $(2\pi, 1)$ переходит в точку $(2\pi, 1 - 2) = (2\pi, -1)$.

Ответ: График функции $y = \cos x - 2$ получается сдвигом графика $y = \cos x$ на 2 единицы вниз вдоль оси Oy.

г) $y = \cos x + 1$

График этой функции получается из графика $y = \cos x$ путем сдвига вдоль оси ординат (оси Oy). Так как к функции прибавляется положительное число (+1), сдвиг выполняется вверх на 1 единицу.

Период функции остается $2\pi$. Область значений смещается на 1 вверх: $[-1+1, 1+1]$, то есть $[0, 2]$.

Сместим ключевые точки графика $y = \cos x$ на 1 единицу вверх:

• Максимум $(0, 1)$ переходит в точку $(0, 1 + 1) = (0, 2)$.
• Точка $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2}, 0 + 1) = (\frac{\pi}{2}, 1)$.
• Минимум $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\pi, -1 + 1) = (\pi, 0)$.
• Точка $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{3\pi}{2}, 0 + 1) = (\frac{3\pi}{2}, 1)$.
• Максимум $(2\pi, 1)$ переходит в точку $(2\pi, 1 + 1) = (2\pi, 2)$.

Ответ: График функции $y = \cos x + 1$ получается сдвигом графика $y = \cos x$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy.

д) $y = \cos(x - \frac{2\pi}{3}) - 3$

Для построения графика этой функции необходимо выполнить два преобразования графика $y = \cos x$:

1. Сдвиг вдоль оси Ox вправо на $\frac{2\pi}{3}$ (так как в аргументе вычитается $\frac{2\pi}{3}$).
2. Сдвиг вдоль оси Oy вниз на 3 (так как из функции вычитается 3).

Период функции остается $2\pi$. Область значений смещается на 3 вниз и становится $[-1-3, 1-3] = [-4, -2]$.

Применим оба сдвига к ключевым точкам графика $y = \cos x$:

• Максимум $(0, 1)$ переходит в точку $(0 + \frac{2\pi}{3}, 1 - 3) = (\frac{2\pi}{3}, -2)$.
• Нуль функции $(\frac{\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{\pi}{2} + \frac{2\pi}{3}, 0 - 3) = (\frac{3\pi+4\pi}{6}, -3) = (\frac{7\pi}{6}, -3) = (1\frac{1}{6}\pi, -3)$.
• Минимум $(\pi, -1)$ переходит в точку $(\pi + \frac{2\pi}{3}, -1 - 3) = (\frac{5\pi}{3}, -4) = (1\frac{2}{3}\pi, -4)$.
• Нуль функции $(\frac{3\pi}{2}, 0)$ переходит в точку $(\frac{3\pi}{2} + \frac{2\pi}{3}, 0 - 3) = (\frac{9\pi+4\pi}{6}, -3) = (\frac{13\pi}{6}, -3) = (2\frac{1}{6}\pi, -3)$.
• Максимум $(2\pi, 1)$ переходит в точку $(2\pi + \frac{2\pi}{3}, 1 - 3) = (\frac{8\pi}{3}, -2) = (2\frac{2}{3}\pi, -2)$.

Ответ: График функции $y = \cos(x - \frac{2\pi}{3}) - 3$ получается сдвигом графика $y = \cos x$ на $\frac{2\pi}{3}$ вправо вдоль оси Ox и на 3 единицы вниз вдоль оси Oy.