Номер 1.235, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.235. Определите знак произведения $\cos\left(-\frac{9\pi}{8}\right) \cdot \cos\left(-\frac{\pi}{5}\right) \cos\frac{4\pi}{5}$.

Для определения знака произведения $ \cos(-\frac{9\pi}{8}) \cdot \cos(-\frac{\pi}{5}) \cdot \cos\frac{4\pi}{5} $ необходимо последовательно определить знак каждого сомножителя.

$ \cos(-\frac{9\pi}{8}) $

Функция косинус является четной, поэтому $ \cos(-x) = \cos(x) $. Следовательно, $ \cos(-\frac{9\pi}{8}) = \cos(\frac{9\pi}{8}) $.

Для определения координатной четверти, в которой находится угол $ \frac{9\pi}{8} $, выделим целую часть из неправильной дроби: $ \frac{9\pi}{8} = \textbf{1}\frac{1}{8}\pi $.

Так как выполняется неравенство $ \pi < \textbf{1}\frac{1}{8}\pi < \frac{3\pi}{2} $, угол $ \frac{9\pi}{8} $ расположен в III координатной четверти.

В III четверти косинус принимает отрицательные значения.

Ответ: Знак $ \cos(-\frac{9\pi}{8}) $ — "минус" ($ < 0 $).

$ \cos(-\frac{\pi}{5}) $

Используя свойство четности функции косинуса, получаем: $ \cos(-\frac{\pi}{5}) = \cos(\frac{\pi}{5}) $.

Угол $ \frac{\pi}{5} $ удовлетворяет неравенству $ 0 < \frac{\pi}{5} < \frac{\pi}{2} $, следовательно, он находится в I координатной четверти.

В I четверти косинус принимает положительные значения.

Ответ: Знак $ \cos(-\frac{\pi}{5}) $ — "плюс" ($ > 0 $).

$ \cos(\frac{4\pi}{5}) $

Угол $ \frac{4\pi}{5} $ удовлетворяет неравенству $ \frac{\pi}{2} < \frac{4\pi}{5} < \pi $, следовательно, он находится во II координатной четверти.

Во II четверти косинус принимает отрицательные значения.

Ответ: Знак $ \cos(\frac{4\pi}{5}) $ — "минус" ($ < 0 $).

Знак всего произведения

Чтобы найти знак всего произведения, перемножим знаки сомножителей:

$ (\text{минус}) \cdot (\text{плюс}) \cdot (\text{минус}) = (+) $

Произведение двух отрицательных и одного положительного числа является положительным числом.

Ответ: Знак произведения — положительный ("плюс").