Номер 1.236, страница 74 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.236. Используя свойства функции $f(x) = \cos x$, сравните значения выражений:

а) $\cos 0,5$ и $\cos 1$;

б) $\cos (-2)$ и $\cos (-1)$.

а) Для сравнения значений $ \cos 0,5 $ и $ \cos 1 $ воспользуемся свойством монотонности функции $ f(x) = \cos x $.
Аргументы $ 0,5 $ и $ 1 $ (значения углов даны в радианах) принадлежат промежутку $ [0, \pi] $, поскольку $ 0 < 0,5 < 1 < \pi \approx 3,14 $.
На промежутке $ [0, \pi] $ функция косинус является строго убывающей. Это означает, что для любых двух точек $ x_1 $ и $ x_2 $ из этого промежутка, если $ x_1 < x_2 $, то $ \cos x_1 > \cos x_2 $.
Так как $ 0,5 < 1 $, то, согласно свойству убывающей функции, получаем $ \cos 0,5 > \cos 1 $.
Ответ: $ \cos 0,5 > \cos 1 $.

б) Для сравнения значений $ \cos(-2) $ и $ \cos(-1) $ воспользуемся свойством четности функции косинус.
Функция $ f(x) = \cos x $ является четной, то есть для любого значения $ x $ из области определения выполняется равенство $ \cos(-x) = \cos x $.
Применяя это свойство, получаем: $ \cos(-2) = \cos 2 $ и $ \cos(-1) = \cos 1 $.
Таким образом, задача сводится к сравнению значений $ \cos 2 $ и $ \cos 1 $.
Аргументы $ 1 $ и $ 2 $ принадлежат промежутку $ [0, \pi] $, на котором, как и в пункте а), функция косинус является убывающей.
Поскольку $ 1 < 2 $, то из свойства убывающей функции следует, что $ \cos 1 > \cos 2 $.
Выполнив обратную замену, получаем: $ \cos(-1) > \cos(-2) $.
Ответ: $ \cos(-2) < \cos(-1) $.