Номер 1.242, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.242. Постройте график функции $y = \sin x - 1.5$. Пользуясь графиком, определите:

а) промежутки убывания и возрастания функции;

б) наибольшее и наименьшее значения функции и значения аргумента, при которых они достигаются;

в) нули функции;

г) множество значений функции.

График функции $y = \sin x - 1.5$ получается из графика функции $y = \sin x$ путем параллельного переноса (сдвига) вдоль оси Oy на 1.5 единицы вниз.

Исходная функция $y = \sin x$ (синусоида) является периодической с периодом $2\pi$ и ее значения лежат в отрезке $[-1, 1]$. После сдвига вниз на 1.5, новая функция $y = \sin x - 1.5$ также будет периодической с периодом $2\pi$, а ее значения будут лежать в отрезке $[-1 - 1.5, 1 - 1.5] = [-2.5, -0.5]$. Это означает, что весь график будет расположен под осью абсцисс (осью Ox).

Используя эти свойства преобразованного графика, определим требуемые характеристики функции.

а) промежутки убывания и возрастания функции;
Вертикальный сдвиг графика не изменяет его промежутков монотонности. Поэтому промежутки возрастания и убывания функции $y = \sin x - 1.5$ такие же, как и у функции $y = \sin x$. Из графика синусоиды известно, что функция возрастает от своего минимума к максимуму и убывает от максимума к минимуму. Максимумы синуса достигаются при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, а минимумы при $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n$ (или $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$).
Следовательно, функция $y = \sin x - 1.5$ возрастает на промежутках $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n]$ и убывает на промежутках $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{3\pi}{2} + 2\pi n]$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Выделим целую часть из неправильной дроби в выражении $\frac{3\pi}{2}$: $\frac{3}{2}\pi = 1\frac{1}{2}\pi$.
Ответ: функция возрастает на промежутках вида $[-\frac{\pi}{2} + 2\pi n, \frac{\pi}{2} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$; функция убывает на промежутках вида $[\frac{\pi}{2} + 2\pi n, 1\frac{1}{2}\pi + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

б) наибольшее и наименьшее значения функции и значения аргумента, при которых они достигаются;
Наибольшее значение функции $y = \sin x$ равно 1 и достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Для функции $y = \sin x - 1.5$ наибольшее значение равно $1 - 1.5 = -0.5$. Оно достигается при тех же значениях $x$.
Наименьшее значение функции $y = \sin x$ равно -1 и достигается при $x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$. Для функции $y = \sin x - 1.5$ наименьшее значение равно $-1 - 1.5 = -2.5$. Оно достигается при тех же значениях $x$.
Преобразуем значения, выделив целые части из неправильных дробей: $\frac{3\pi}{2} = 1\frac{1}{2}\pi$ и $-2.5 = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2}$.
Ответ: наибольшее значение функции $y_{max} = -0.5$ достигается при $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; наименьшее значение функции $y_{min} = -2\frac{1}{2}$ достигается при $x = 1\frac{1}{2}\pi + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) нули функции;
Нули функции – это точки пересечения графика с осью Ox, то есть значения $x$, при которых $y=0$.
$\sin x - 1.5 = 0 \implies \sin x = 1.5$.
Так как область значений функции синуса $[-1, 1]$, а $1.5 > 1$, то данное уравнение не имеет решений. Следовательно, у функции нет нулей.
Ответ: нулей нет.

г) множество значений функции.
Множество значений функции $y = \sin x$ - это отрезок $[-1, 1]$. Поскольку мы сдвигаем график на 1.5 единицы вниз, множество значений также сдвигается на -1.5.
Новое множество значений: $[-1 - 1.5, 1 - 1.5] = [-2.5, -0.5]$.
Запишем значение $-2.5$ в виде смешанного числа: $-2.5 = -2\frac{1}{2}$.
Ответ: множество значений функции $E(y) = [-2\frac{1}{2}; -0.5]$.