Номер 1.245, страница 75 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

1.245. Найдите область определения функции $f(x) = \frac{4}{x^2 - 7x + 6}$.

Область определения функции — это множество всех значений аргумента $x$, при которых выражение функции имеет смысл. Данная функция $f(x) = \frac{4}{x^2 - 7x + 6}$ является дробно-рациональной, поэтому ее область определения — это все действительные числа, кроме тех, при которых знаменатель обращается в ноль.

Чтобы найти эти значения, приравняем знаменатель к нулю и решим полученное квадратное уравнение:

$x^2 - 7x + 6 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение, которое можно решить с помощью теоремы Виета. Согласно теореме, сумма корней уравнения равна коэффициенту при $x$, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

$x_1 + x_2 = 7$

$x_1 \cdot x_2 = 6$

Подбирая целые числа, находим, что корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = 6$.

Также можно найти корни через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 49 - 24 = 25$

Корни уравнения вычисляются по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 5}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 5}{2} = \frac{12}{2} = 6$

Оба метода дают одинаковые корни. Это означает, что при $x=1$ и $x=6$ знаменатель дроби равен нулю. Следовательно, эти значения необходимо исключить из области определения функции.

Таким образом, область определения функции (обозначается как $D(f)$) состоит из всех действительных чисел, кроме 1 и 6. В виде числовых промежутков это записывается следующим образом:

Ответ: $D(f) = (-\infty; 1) \cup (1; 6) \cup (6; +\infty)$.