вопрос, страница 82 - гдз по алгебре 10 класс учебник Арефьева, Пирютко

Какие из чисел $-\frac{9\pi}{2}$; $-3\pi$; $-\frac{5\pi}{2}$; $-\pi$; $-\frac{\pi}{2}$; $0$; $\frac{3\pi}{2}$; $4\pi$ не принадлежат области определения функции:

a) $y = \text{tg }x$;

б) $y = \text{ctg }x$?

Для решения этой задачи необходимо определить область определения для каждой из функций и проверить, какие из предложенных чисел в нее не входят.

Функция тангенса определяется формулой $y = \tg x = \frac{\sin x}{\cos x}$. Область определения функции — это все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Следовательно, $\cos x \neq 0$.

Уравнение $\cos x = 0$ имеет решения вида $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (любое целое число). Это означает, что тангенс не определён для всех нечётных кратных $\frac{\pi}{2}$.

Проверим предложенные числа:

• $-\frac{9\pi}{2} = -9 \cdot \frac{\pi}{2}$. Так как -9 — нечётное целое число, это число не принадлежит области определения.
• $-3\pi = -6 \cdot \frac{\pi}{2}$. Так как -6 — чётное целое число, это число принадлежит области определения.
• $-\frac{5\pi}{2} = -5 \cdot \frac{\pi}{2}$. Так как -5 — нечётное целое число, это число не принадлежит области определения.
• $-\pi = -2 \cdot \frac{\pi}{2}$. Так как -2 — чётное целое число, это число принадлежит области определения.
• $-\frac{\pi}{2} = -1 \cdot \frac{\pi}{2}$. Так как -1 — нечётное целое число, это число не принадлежит области определения.
• $0 = 0 \cdot \frac{\pi}{2}$. Так как 0 — чётное целое число, это число принадлежит области определения.
• $\frac{3\pi}{2} = 3 \cdot \frac{\pi}{2}$. Так как 3 — нечётное целое число, это число не принадлежит области определения.
• $4\pi = 8 \cdot \frac{\pi}{2}$. Так как 8 — чётное целое число, это число принадлежит области определения.

Ответ: $ -\mathbf{4}\frac{1}{2}\pi; -\mathbf{2}\frac{1}{2}\pi; -\frac{\pi}{2}; \mathbf{1}\frac{1}{2}\pi $.

Функция котангенса определяется формулой $y = \ctg x = \frac{\cos x}{\sin x}$. Область определения функции — это все значения $x$, при которых знаменатель не равен нулю. Следовательно, $\sin x \neq 0$.

Уравнение $\sin x = 0$ имеет решения вида $x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$ (любое целое число). Это означает, что котангенс не определён для всех целых кратных $\pi$.

Проверим предложенные числа:

• $-\frac{9\pi}{2}$: не является целым кратным $\pi$. Принадлежит области определения.
• $-3\pi = (-3) \cdot \pi$. Так как -3 — целое число, это число не принадлежит области определения.
• $-\frac{5\pi}{2}$: не является целым кратным $\pi$. Принадлежит области определения.
• $-\pi = (-1) \cdot \pi$. Так как -1 — целое число, это число не принадлежит области определения.
• $-\frac{\pi}{2}$: не является целым кратным $\pi$. Принадлежит области определения.
• $0 = 0 \cdot \pi$. Так как 0 — целое число, это число не принадлежит области определения.
• $\frac{3\pi}{2}$: не является целым кратным $\pi$. Принадлежит области определения.
• $4\pi = 4 \cdot \pi$. Так как 4 — целое число, это число не принадлежит области определения.

Ответ: $ -3\pi; -\pi; 0; 4\pi $.